Un recipiente para beber, en forma de cono, se diseña para contener 27 ³ de agua. Encuentre la altura y el radio del cono que utilizará la menor cantidad de papel.
Respuestas
Hola.
Algunas consideraciones importantes:
Para poder hallar la menor cantidad de papel que satisfaga la restriccion que nos dice el ejercicio debemos hallar el radio y la altura del cono minimos. Para poder optimizar esto recomiendo usar los Operadores de Lagrange.
Hallamos en primer lugar la Función Objetivo y la Función Restriccion. Para esto debemos tener claro las relaciones de un Cono, como por ejemplo saber la Ecuacion del Volumen y el Area Lateral del Cono y por supuesto saber Derivar funciones.
Dicho esto, continuamos..... Derivando ambas Funciones en función de nuestas incognitas que son R (radio) y H (altura).
Paso siguiente usamos la Formula de operadores de Lagrange y remplazando obtenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas. Resolvemos este por Eliminacion y luego factorizamos lo maximo posible. A partir de esto calculamos H en funcion de R para luego sustituir en la Funcion Objetivo y hallar R y H correspondientes; como ultimo paso tomamos valores de prueba que satisfagan la Funcion Restriccion y verificamos que los valores hallados de R y H sean los MINIMOS que cumplan con que el Area lateral del cono sea la Minima.
Te dejo 2 archivos con todo el calculo paso a paso.
Lleva un poco de tiempo resolverlo pero es algo mecanico.
Espero te sirva!!!!
Saludos!!!
La altura del tetraedro es igual a 3∛(6/π) y el radio es igual a 9/(√(π*3∛(6/π)))
Tenemos que el volumen del cono es 27 cm³, entonces el volumen es:
V = πr²h/3 = 27 cm²
πr²h = 27*3
1. πr²h = 81
Luego el área del cono es:
2. S = πrg
Donde la generatriz cumple con la ecuación
g² = r² + h²
g = √(r² + h²)
Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación 2:
S = πr*√(r² + h²)
Ahora tenemos que
πr²h = 81
r² = 81/πh
r = 9/(√(πh))
Sustituimos en la ecuación de S
S = π*9/(√πh)*√( 81/πh + h²)
(9√π/√h)*√((81 + πh³)/πh)
Si determinamos un mínimo para la función con la calculadora se logra cuando
h = 3∛(6/π)
Entonces el radio es:
r = 9/(√(π*3∛(6/π)))
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