Question

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La función f definida por f(x) = x^2, cuyo dominio es el conjunto de
los números reales, es biyectiva.
II) Si las funciones f y g son inyectivas, ambas con dominio el
conjunto de los números reales, entonces f o g es inyectiva.
III) Si h: S -> S es una función sobreyectiva, entonces h es inyectiva.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

En primer lugar es necesario que recordemos los conceptos de las funciones inyectivas, funciones epiyectivas y funciones biyectivas.

Una función f es inyectiva cuando a cada elemento del dominio de f le corresponde un único elemento en el recorrido de f, es decir, si f(x) = f(y), entonces x = y.

Una función f es sobreyectiva  o epiyectiva cuando cualquier elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio de la función. 

Por su parte, una función f es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Ahora procedemos a anallizar cada afirmación:     
     I. La función f definida por f(x) = x², cuyo dominio es el conjunto de los números reales, es biyectiva.
Esta afirmación es falsa, ya es NO es inyectiva porque a valores distintos de X, la imagen es la misma. Ejemplo f(2) = f(-2)     

     II. Si las funciones f y g son inyectivas, ambas con dominio el conjunto de los números reales, entonces f x g es inyectiva.
Sean x e y pertenecientes al dominio de f x g, tal que (f x g)(x) = (f x g)(y).
Luego, para que f x g sea inyectiva, se debe demostrar que x = y

Así, como (f x g)(x) = (f x g)(y) , se tiene que f(g(x)) = f(g(y)), pero f es inyectiva, lo que implica que g(x) = g(y), ahora g también es inyectiva, por lo que x = y.

Esta afirmación es verdadera
       III. Si h: S → S es una función sobreyectiva, entonces h es inyectiva.
Esta afirmación es falsa ya que, si h es una función sobreyectiva, no necesariamente es inyectiva. Para probarlo usaremos como ejemplo h: [0, 2] →[0, 2] que es una función cuadrática definida por h(x) = 2x² - 4x + 2 .

En ese sentido se entiende que es una función sobreyectiva pero no inyectiva y de este modo la respuesta al planteamiento es la Opción B

Saludos! 


Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas