Question

Sea f una función, con dominio el conjunto de los números reales, definida por
f(x) = mx^n, con m un número real distinto de cero y n un número entero positivo,
tal que 0 < n menos igual que 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Para cualquier m y n, las gráficas de las funciones tienen un eje de
simetría.
B) Si f(a) = f(b), entonces a = b, para todo n y m.
C) La función f no puede ser decreciente.
D) Si para n = 1 se tiene que f se denota por g, para n = 2 se tiene que f se
denota por h y para n = 3 se tiene que f se denota por t, entonces hay al
menos un punto donde se intersectan las gráficas de g, h y t.
E) Para m < 0 y para n un número par, el recorrido de f es el conjunto de los
números reales positivos.
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

Para hallar la resolución a esta interrogante es importante que analicemos las opciones dadas por el ejercicio:

     a. Para cualquier m y n, las gráficas de las funciones tienen un eje de
simetría.
 
Debemos tener en cuenta que un eje de simetría es una línea recta que divide la figura en dos figuras simétricas.

Entonces.. Cumpliendo con lo que menciona el enunciado, si decimos que m = 1 y n = 3, do números aleatorios para f(x) = mxⁿ, f(x) = x³ y esta función no tiene eje de simetría (Imagen adjunta 1), por lo que la afirmación es falsa.

     b.  Si f(a) = f(b), entonces a = b, para todo n y m.
Esta afirmación es falsa, ya que si n = 2 y m = 2, se tiene la función f(x) = 2x², donde f(2) = 8 y f(-2) = 8, pero 2 ≠ - 2.

    c. La función f no puede ser decreciente.

Esta afirmación también es falsa, ya que, si m = -1 y n = 1, f(x) sería igual a -x y su gráfica sería decreciente (Imagen adjunta 2)

     d. Si para n = 1 se tiene que f se denota por g, para n = 2 se tiene que f se denota por h y para n = 3 se tiene f se denota por t, entonces hay al menos un punto donde se intersectan las gráficas de g, h y t.

Entonces decimos que:
g(x) = m.x
h(x) = m.x²
t(x) = m.x³

Y tomamos por ejemplo X = 1 en donde:
g(1) = m.(1) = m
h(1) = m.(1)² = m
t(1) = m.(1)³ = m

Es decir que para las tres funciones aplica que al menos cuando X = 1, Y = m... Por lo que podems decir que esta afirmación es Verdadera.

       e. Para m < 0 y para n un número par, el recorrido de f es el conjunto de los números reales positivos.
Esta afirmación es falsa, ya que si m = -2 la función sería f(x) = - 2x² y el recorrido serían los números reales negativos (Imagen adjunta 3)

Entonces, la respuesta afirmativa para este planteamiento es la E

Saludos!

Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas