Question

Se lanza un objeto hacia arriba y su altura, en metros, se modela mediante la
función f(t) = -t2 + bt + c, donde t es el tiempo transcurrido desde que es
lanzado, en segundos, y f(t) su altura. Se puede determinar la altura máxima
alcanzada por el objeto, si se sabe que:
(1) El objeto es lanzado desde 10 metros de altura con respecto
al suelo.
(2) Toca el suelo por primera vez a los 10 segundos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

Para resolver este problema es necesario el análisis del enunciado.

Tenemos que la función f(t) = -t² + bt + c representa la altura en relación al tiempo transcurrido desde el lanzamiento.

Sin embargo, es importante recordar que para una función de tipo f(x) = ax² + bx + c, la parábola asociada intersecta al eje de las ordenadas en (0, c) y su vértice es el punto $(\frac{-b}{2a}, f \frac{-b}{2a})$ 

Es así como, si observamos la función f(t) = -t² + bt + c se tiene que el vértice de su parábola está dado por $(\frac{-b}{2a}, f \frac{-b}{2a})$ 

Como necesitamos hallar el valor de la ordenada del vértice, es decir $f( \frac{b}{2})$, sustituimos este valor en la ecuación de la altura y decimos que:
$f(\frac{b}{2}) = - (\frac{b}{2})^{2} + b(\frac{b}{2}) + c$

Es decir que para determinar la altura máxima del objeto, se debe conocer el valor de "b" y de "c"     
 
   I. El objeto es lanzado desde 10 metros de altura con respecto al suelo.
Indica que cuando t = 0 la altura era de 10 metros, es decir que c = 10.

Sin embargo aún necesitamos saber el valor de "b" por lo que esta alternativa no es posible.

   II. Toca el suelo por primera vez a los 10 segundos.

Indica que la altura del objeto cuando t = 10 es 0, es decir que f(10) = 0.

Si comprobamos reemplazando en f(10) este valor, notamos que al obtener la ecuación - 10² + 10b + c = 0, aun no se puede determinar la altura máxima.
   
Sin embargo, si se consideran ambas afirmaciones se tiene que c = 10 y que 10b + c = 100. 

En este caso se puede obtener el valor de b y por lo tanto, se puede determinar la altura máxima alcanzada por el objeto, siendo C la repuesta correcta. 

Saludos! 
     
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas