Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante AX = B siendo
A =
1 1 2
−1 m + 2 m
1 1 m + 2
, B =
1 − m
m
7
y X =
x
y
z
.
a) [1’5 puntos] Discute el sistema seg ́un los valores de m.
b) [1 punto] Resuelve el sistema para m = −3 y determina en dicho caso, si existe, una soluci ́on en la que
x = 2.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva A 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas
a) Discute el sistema según los valores de m.
Se calcula el determinante de la matriz A y se iguala a cero.
| 1 1 2|
Det(A) = |-1 m+2 m| = m^2 + 3m = 0
| 1 1 m+2|
m1 = 0
m2 = -3
Se determina el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz de coeficientes ampliada.
Para m = 0:
Matriz de coeficientes.
( 1 1 2)
(-1 2 0)
( 1 1 2)
Como la fila 1 y la fila 3 son proporcionales se tiene que R = 2
Matriz ampliada.
( 1 1 2 1)
(-1 2 0 0)
( 1 1 2 7)
Se aplican las siguientes operaciones:
F2 = F2 + F1
F3 = F3 – F1
(1 1 2 1)
(0 3 2 1)
(0 0 0 6)
El rango es 3.
Para m = -3:
Matriz de coeficientes.
( 1 1 2)
(-1 -1 -3)
( 1 1 -1)
Se aplican las siguientes operaciones:
F2 = F2 + F1
F3 = F3 – F1
(1 1 2)
(0 0 -1)
(0 0 -3)
El rango es 3.
Matriz ampliada.
( 1 1 2 4)
(-1 -1 -3 -3)
( 1 1 -1 7)
Se aplican las siguientes operaciones:
F2 = F2 + F1
F3 = F3 – F1
(1 1 2 4)
(0 0 -1 1)
(0 0 -3 3)
El rango es 2.
Para la matriz de coeficientes:
m = 0 (Sistema compatible indeterminado)
m = - 3 (Sistema incompatible)
m ≠ 0 (Sistema compatible determinado)
m ≠ - 3 (Sistema compatible determinado)
Para la matriz ampliada:
m = 0 (Sistema compatible indeterminado)
m = - 3 (Sistema incompatible)
m ≠ 0 (Sistema compatible determinado)
m ≠ - 3 (Sistema compatible determinado)
b) Resuelve el sistema para m = -3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que x = 2.
Si se sustituye m = -3 el sistema de ecuaciones que queda es:
x + y + 2z = 4
-x – y – 3z = -3
Ya que el sistema es compatible indeterminado como se demostró en la sección pasada.
Para x = 2 se tiene que:
y + 2z = 2
-y – 3z = -1
z = -1
y = 4
Solución:
x = 2
y = 4
z = -1
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA A 2015-2016 MATEMÁTICAS II.