Question

¿Cuál de las siguientes ecuaciones cumple que F1 (-8-√29,3); F2 (2+√29,3) y C(-3,3)? A. 4x² + 24x - 25y² + 150y - 289 = 0 B. 2x² + 12x - 25y² + 150y + 289 = 0 C. 4x² + 24x - 25y² + 150y + 289 = 0 D. 2x² + 12x - 25y² + 150y - 289 = 0

Answer 1

El eje de la hipérbola es paralelo al eje x, conocemos las coordenadas del centro y la distancia del centro al foco. A partir de estos datos y completando cuadrados llegamos a concluir que la ecuación de la hipérbola no está entre las opciones presentadas.

Explicación:

Sabemos que los focos están en el segmento que une los puntos -8 -√29 y 2+√29 en el eje  x  y que que el centro está en  x  = -3;  es decir,   c  = 5  +  √29.

En la hipérbola, la relación de distancias del centro al vértice (a), del centro al punto de corte con el eje imaginario (b) y al foco (c) es:

c²  =  a²  +  b²            ⇒              (5  +  √29)²  =  a²  +  b²         ⇒      

54  +  10√29  =  a²  +  b²

Completando cuadrados en cada opción:

A. 4x² + 24x - 25y² + 150y - 289 = 0

$4(x^{2}+6x)-25(y^{2}-6y)=289\quad\Rightarrow\quad4[(x+\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}]-25[(y-\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}]=289\quad\Rightarrow\\4(x+3)^{2}-36-25(y-3)^{2}+225=289\quad\Rightarrow\quad4(x+3)^{2}-25(y-3)^{2}=100\quad\Rightarrow\\\bold{\frac{(x+3)^{2}}{25}-\frac{(y-3)^{2}}{4}=1}$

a²  +  b²  =  25 +  4  =  29         ⇒      no es la ecuación

B. 2x² + 12x - 25y² + 150y + 289 = 0

$2(x^{2}+6x)-25(y^{2}-6y)=289\quad\Rightarrow\quad2[(x+\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}]-25[(y-\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}]=289\quad\Rightarrow\\2(x+3)^{2}-18-25(y-3)^{2}+225=289\quad\Rightarrow\quad2(x+3)^{2}-25(y-3)^{2}=82\quad\Rightarrow\\\bold{\frac{(x+3)^{2}}{41}-\frac{(y-3)^{2}}{\frac{82}{25}}=1}$

a²  +  b²  =  82/25 +  41  =  1107/25         ⇒      no es la ecuación

C. 4x² + 24x - 25y² + 150y + 289 = 0

$4(x^{2}+6x)-25(y^{2}-6y)=-289\quad\Rightarrow\quad4[(x+\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}]-25[(y-\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}]=-289\quad\Rightarrow\\4(x+3)^{2}-36-25(y-3)^{2}+225=-289\quad\Rightarrow\quad4(x+3)^{2}-25(y-3)^{2}=-478\quad\Rightarrow\\\bold{\frac{(y-3)^{2}}{\frac{478}{25}}-\frac{(x+3)^{2}}{\frac{239}{2}}=1}$

a²  +  b²  =  478/25 +  239/2  =  6931/50         ⇒      no es la ecuación

D. 2x² + 12x - 25y² + 150y - 289 = 0

$2(x^{2}+6x)-25(y^{2}-6y)=-289\quad\Rightarrow\quad2[(x+\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}]-25[(y-\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}]=-289\quad\Rightarrow\\2(x+3)^{2}-18-25(y-3)^{2}+225=-289\quad\Rightarrow\quad2(x+3)^{2}-25(y-3)^{2}=-496\quad\Rightarrow\\\bold{\frac{(y-3)^{2}}{\frac{496}{25}}-\frac{(x+3)^{2}}{248}=1}$

a²  +  b²  =  496/25 +  248  =  6696/25         ⇒      no es la ecuación