Question

Sea p un número racional tal que 0 < p < 1 y n un número entero mayor quecero. De las siguientes opciones, ¿cuál representa el mayor número?


#PSU

Answer 1

Dado que p es un numero racional el que representa el mayor numero es la opción E (p-1)¨n

Considerando que p es racional tal que 0<p<1, se tiene entonces que p es de la forma r7m donde r<m y siendo ello enteros.

Se procede a aplicar el enunciado anterior a las opciones planteadas:

• $p^{n} =(\frac{r}{m} )^{n} =1*(\frac{r}{m} )^{n}$

• $n*p^{n} =n*(\frac{r}{m} )^{n}$
• $p^{n+1}=(\frac{r}{m}) ^{n+1}=(\frac{r}{m})*( \frac{r}{m})^{n}$

• $p^{2n}=(\frac{r}{m}) ^{2n}=(\frac{r}{m})^{n} *( \frac{r}{m})^{n}$
• $(p+1)^{n} =(\frac{r}{m} +1)^{n}$

Se procede a comparar cada una de las opciones.

Teniendo en consideración que las expresiones en A, en B, en C y en D tienen como   factor común   $(\frac{r}{m}) ^{n}$, bastaría con solo comparar el otro factor.

 

Al comparar A con B, se tiene que 1≤n, por lo tanto, el número representado en B es  mayor o igual que el que está representado en A.

Ahora, al comparar B con C, se tiene   $(\frac{r}{m}) ^{n}$< n, luego el número representado en B es  mayor que el que está representado en C.

 

Ahora, al comparar B con D, se tiene    $(\frac{r}{m}) ^{n}$< n, pues al elevar un número racional entre  cero y uno por un exponente entero positivo, el número resultante está entre cero y uno.  Luego, el número representado en B es mayor que el que está representado en D.

Por último, al comparar B con E, se se complica la expresión, una manera de verlo es colocar las opciones B y E de la siguiente manera:

B:

$n*p^{n} =n(\frac{r}{m}) ^{n}=(\frac{\sqrt[n]{n} *r}{m} )^{n}=\frac{(\sqrt[n]{n}*r )^{n}}{m^{n}}$

D:

$(p+1)^{n}=(\frac{r}{m}+1 )^{n}=(\frac{r+m}{m})^{n}=\frac{(r+m)^{n}}{m^{n}}$

Dado que tienen igual denominador se compara los numeradores de ahi se obtiene que E es mayor que B.

La respuesta es E