Question

Un proyectil es disparado con una velocidad inicialmente 100 m/s que forma un angulo de 36,87 por encima de la horizontal. Determine la posicion del punto en el cual las aceleraciones tangencial y normal son iguales en magnitud,respecto al punto de lanzamiento

Respuesta : 1120i -140j m

Answer 1

Las aceleraciones tangencial y normal del proyectil tienen la misma magnitud cuando el mismo se encuentra, respecto del punto de lanzamiento a 1142m en horizontal y 143m en vertical por debajo del punto de lanzamiento.

Explicación:

La aceleración que recibirá el proyectil en todo momento será la de la gravedad, la cual será siempre vertical pero puede dividirse en una componente tangencial y en una componente normal:

$g_t=g.sen(\alpha)\\g_n=g.cos(\alpha)$

Siendo α el ángulo de inclinación de la trayectoria respecto a la horizontal, se puede demostrar por la trigonometría que la componente tangencial y la normal tendrán el mismo módulo cuando sea α=45° ó sea α=-45°.

Esto lo obtenemos primero combinando las ecuaciones de movimiento para obtener la ecuación de la trayectoria.

$x=x_0+v_{0x}t\\y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2$

Para simplificar los cálculos tomamos como origen de coordenadas el punto de lanzamiento.

$x=v_{0x}t\\y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\\\\t=\frac{x}{v_{0x}}\\\\y=v_{0y}\frac{x}{v_{0x}}-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_{0x}})^2\\\\y=v_{0}.sen(\theta)\frac{x}{v_{0}.cos(\theta)}-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_{0}cos(\theta)})^2\\\\y=x.tan(\theta)-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_{0}cos(\theta)})^2$

La pendiente de la trayectoria es la tangente del ángulo α, dicho valor lo da la derivada, hay que derivar la función hallada e igualarla a 1 o a -1.

$\frac{dy}{dx}=tan(\theta)-\frac{1}{2}g.2(\frac{x}{v_0cos(\theta)})\frac{1}{v_0cos(\theta)}\\\\\frac{dy}{dx}=tan(\theta)-g\frac{x}{v_0^2cos^2(\theta)}\\\\1=tan(\theta)-g\frac{x}{v_0^2cos^2(\theta)}\\\\1-tan(\theta)=-g\frac{x}{v_0^2cos^2(\theta)}\\\\x=\frac{tan(\theta)-1}{g}v_0^2cos^2(\theta)$

Reemplazando valores queda:

$x=\frac{tan(36,87\°)-1}{9,81}(100)^2cos^2(36,87\°)\\x=-163m$

Valor que no es válido porque el proyectil se lanzó en el sentido positivo, probamos igualando la derivada a -1:

$-1=tan(\theta)-g\frac{x}{v_0^2cos^2(\theta)}\\\\tan(\theta)+1=g\frac{x}{v_0^2cos^2(\theta)}\\\\x=\frac{(tan(\theta)+1)v_0^2cos^2(\theta)}{g}=\frac{(tan(36,87\°)+1)(100)^2cos^2(36,87\°)}{9,81}\\\\x=1142m$

Lo que corresponde a una posición vertical de:

$y=x.tan(\theta)-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_{0}cos(\theta)})^2\\\\y=1142.tan(36,87\°)-\frac{1}{2}9,81\frac{m}{s^2}(\frac{1142}{100\frac{m}{s}.cos(36,87\°)})^2\\\\y=-143m$