Question

Hallar la ecuación de la parábola, siendo su vértice (-2,6) y un punto de la parábola P (2,8). Luego de ubicar el vértice y el punto nos damos cuenta que el eje de simetría es paralelo al eje y.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Cuando Conocemos el vértice y un punto de nuestra gráfica podemos hallar la ecuación de la siguiente forma

(Xo , Yo) --> Vertice --> ( -2 , 6)

(X , Y) --> Puntos conocidos --> ( 2 , 8)

Y = a(X - Xo)^2 + Yo

8 = a(2 - (-2))^2 + 6

8 = 16a + 6

16a = 8 - 6

16a = 2

a = 2/16

a = 1/8

Al conocer "a", reemplazo en la ecuación general

Y = (1/8)(X - Xo)^2 + Yo

Y = 0.125(X - (- 2))^2 + 6

Y = 0.125(X + 2))^2 + 6

Y = 0.125(X^2 + 4x + 4) + 6

Y = 0.125X^2 + 0.5X + 0.5 + 6

Y = (1/8)X^2 + (1/2)X + 13/2

Answer 2

Respuesta:

Ecuación canónica:

${(x + 2)}^{2} =8(y - 6)$

Ecuación general:

${x}^{2} - 8y +4x + 52= 0$

Ecuación funcional:

$y = \frac{1}{8} {x}^{2} + \frac{1}{2}x+ \frac{13}{2}$

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Explicación paso a paso:

Dato importante:

"El eje de simetría es paralelo al eje y "

Conclusión:

" Se trata de una parábola vertical "

La ecuación canónica de la parábola vertical con vértice (h;k) es :

${(x - h)}^{2} = 4p(y - k)$

Cómo segundo dato tememos el vértice:

(h; k) ------------> (-2;6)

Cómo tercer dato tememos un punto de la parábola:

(x ; y ) ----------> (2,8)

Si reemplazamos esos valores en la ecuación podremos hallar el valor de "p"

${(x - h)}^{2} = 4p(y - k)$

${(2 - ( - 2))}^{2} = 4p(8 - 6)$

${(2 + 2)}^{2} = 4p(2)$

${(4)}^{2} = 8p$

$16= 8p$

$\frac{16}{8} = p$

$2= p$

Ahora podremos reemplazar solo el valor de "p" y de las coordenadas del vértice en la ecuación inicial:

${(x - h)}^{2} = 4p(y - k)$

${(x - ( - 2))}^{2} = 4(2)(y - 6)$

$\boxed{ {(x + 2)}^{2} =8(y - 6)}$

↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑

Esa es la ecuación canónica de la parábola

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Ahora hallaremos la ecuación general:

${(x + 2)}^{2} =8(y - 6)$

Recordar binomio al cuadrado: (a+b)²=a²+2ab+b²

${x}^{2} + 2(x)(2) + {2}^{2} =8(y) -8 (6)$

${x}^{2} +4x + 4 =8y -48$

${x}^{2} - 8y +4x + 4 + 48 = 0$

$\boxed{{x}^{2} - 8y +4x + 52= 0}$

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Ahora hallaremos la ecuación funcional

${x}^{2} - 8y +4x + 52= 0$

${x}^{2} +4x + 52= 8y$

$\frac{ {x}^{2} +4x + 52}{8}= y$

$\frac{{x}^{2}}{8} + \frac{4x}{8} + \frac{52}{8}= y$

$\frac{1}{8} {x}^{2} + \frac{x}{2} + \frac{13}{2}= y$

$\frac{1}{8} {x}^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{13}{2}=y$

$\boxed{y = \frac{1}{8} {x}^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{13}{2}}$