Question

$\sqrt{8x} + x = \sqrt{8}$
Ayuda!!!!
Necesito saber como resolver esta ecuación

Answer 1

Respuesta:

$x=(\sqrt{2+\sqrt{8}}-\sqrt{2})^2$

Explicación paso a paso:

$\sqrt{8x}+x=\sqrt{8}$

Pasemos todo a un solo lado de la ecuación

$x+\sqrt{8x}-\sqrt{8}=0$

$x+\sqrt{8}\sqrt{x}-\sqrt{8}=0$

Si observas bien, pareciera darse un trinomio. Sin embargo, ninguna de las factorizaciones conocidas sirve por lo que recurrimos a la completación de cuadrados.

El trinomio cuadrado perfecto debe tener el término de la mitad como 2 veces la raiz cuadrada de cada uno de sus extremos. Pensando que $x$ será un extremo y $\sqrt{8}\sqrt{x}$ el término medio entonces encontremos el otro extremo que vendría dado por:

$\sqrt{8}\sqrt{x}=2\sqrt{x}\sqrt{y}$

$y$ es el término del extremo que queremos hallar:

$\sqrt{8}=2\sqrt{y}$

$\frac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{y}$

$\sqrt{2}=\sqrt{y}$

$y=2$

Como el término que necesitamos es 2 entonces para no alterar la ecuación simplemente sumamos y restamos por 2:

$x+\sqrt{8}\sqrt{x}+2-2-\sqrt{8}=0$

Ahora sí podemos usar $x+\sqrt{8}\sqrt{x}+2$ esta parte para sacar trinomio cuadrado perfecto:

$(\sqrt{x}+\sqrt{2})^2-2-\sqrt{8}=0$

$(\sqrt{x}+\sqrt{2})^2=2+\sqrt{8}$

$\sqrt{x}+\sqrt{2}=\pm\sqrt{2+\sqrt{8}}$

$\sqrt{x}=\pm\sqrt{2+\sqrt{8}}-\sqrt{2}$

Observa que estamos obligados a que el resultado sea positivo pues no cabe la posibilidad de que esa raíz me de un número negativo entonces solo tomamos la respuesta positiva de la raíz que teníamos en un principio:

$\sqrt{x}=\sqrt{2+\sqrt{8}}-\sqrt{2}$

$x=(\sqrt{2+\sqrt{8}}-\sqrt{2})^2$