Un grupo de biólogos desean saber si una población de peces en un estanque seguirá creciendo indefinidamente, se estabilizará o se extinguirá. Se conoce que la función que determina el comportamiento de la población de peces en el tiempo dentro del estanque es: p(t)=30000/(1+140000e^(-t) )+1.7857158 Donde t, es el tiempo en años. Con base en lo anterior, calcule aplicando los límites: ¿Qué sucederá con los peces en el estanque el largo plazo? ¿Cuantos peces iniciaron en el estanque? ¿Si la población de peces tiende a estabilizarse, aproximadamente en que año sucederá?
Respuestas
RESPUESTA:
Tenemos la siguiente ecuación, de tal manera que:
p(t)= 30000/(1+140000e^(-t) )+1785
Ahora, con los peces a largo plazo tenemos que el tiempo va a tender al infinito, entonces tenemos que:
lim(t-∞) = 30000/(1+140000e^(-t) )+1785
Tengamos en cuenta que e^(-t) = 1/e^t, entonces:
lim(t-∞) = 30000/(1+140000e^(-t) )+1785 = 31785 peces
Los peces que iniciaron en el estanque es cuando el tiempo es igual a cero, por tanto tenemos que:
P(0) = 30000/(1+140000e^(0) )+1785
P(0) = 1785 peces
Sabemos que cuanto el tiempo tiende a infinito la población tiende a 31785 peces, por ello buscaremos el tiempo que llegamos a esta población:
31785 = 30000/(1+140000e^(-t) )+1785
1+140000e^(-t) = 30000/(31785-1785)
e^(-t) = 1/70000
-t = 11.15
t = 11.15 años
Por tanto para un tiempo de 11.15 años la población de peces se estabilizará.