Un grupo de biólogos desean saber si una población de peces en un estanque seguirá creciendo indefinidamente, se estabilizará o se extinguirá. Se conoce que la función que determina el comportamiento de la población de peces en el tiempo dentro del estanque es: p(t)=30000/(1+140000e^(-t) )+1.7857158 Donde t, es el tiempo en años. Con base en lo anterior, calcule aplicando los límites: ¿Qué sucederá con los peces en el estanque el largo plazo? ¿Cuantos peces iniciaron en el estanque? ¿Si la población de peces tiende a estabilizarse, aproximadamente en que año sucederá?

Respuestas

Respuesta dada por: gedo7
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RESPUESTA:  

Tenemos la siguiente ecuación, de tal manera que:

p(t)= 30000/(1+140000e^(-t) )+1785

Ahora, con los peces a largo plazo tenemos que el tiempo va a tender al infinito, entonces tenemos que:

lim(t-∞) = 30000/(1+140000e^(-t) )+1785

Tengamos en cuenta que e^(-t) = 1/e^t, entonces:

lim(t-∞) = 30000/(1+140000e^(-t) )+1785 = 31785 peces

Los peces que iniciaron en el estanque es cuando el tiempo es igual a cero, por tanto tenemos que:

P(0) = 30000/(1+140000e^(0) )+1785

P(0) = 1785 peces

Sabemos que cuanto el tiempo tiende a infinito la población tiende a 31785 peces, por ello buscaremos el tiempo que llegamos a esta población:

31785 = 30000/(1+140000e^(-t) )+1785

1+140000e^(-t) = 30000/(31785-1785)

e^(-t) = 1/70000

-t = 11.15

t = 11.15 años

Por tanto para un tiempo de 11.15 años la población de peces se estabilizará.

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