Question

Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones.




a) Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:


Fig 1. Representación gráfica de un vector.
(la imagen que adjunto es el vector )


b) Dados los siguientes vectores en forma polar
•
•
Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
●
●
c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
● = 2i + 9j y = -6i – 4j

d) Encuentre la distancia entre los puntos:
● (3,-4, 7) ; (3,-4,9)

e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar.
● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k

Answer 1

RESPUESTA:

1- El ángulo entre dos vectores viene dada por la siguiente expresión:

$Cos(\alpha ) = \frac{UxVx + UyVy}{\sqrt[]{Ux^{2}+Uy^{2}}    \sqrt[]{Vx^{2}Vy^{2} } }$

Por tanto teniendo los puntos (2,9) y (-6,-4), tenemos:

$Cos(\alpha ) = \frac{2(-6) + 9(-4)}{\sqrt[]{2^{2}+9^{2}}    \sqrt[]{6^{2}+ 4^{2} } }$

Cos(α) = -0.72198

α = 136.21º → ángulo entre vectores

NOTA: La formula de ángulo entre dos vectores viene a partir de lo siguiente:

Cos(α) = A·B/|A|·|B| → Producto escalar entre las normas de los vectores

2- Distancia entre los vectores.

d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]

Por tanto, teniendo los puntos (3,-4, 7) y (3,-4,9), procedemos a calcular:

d = √[(3-3)² + (-4+4)² + (9-7)²]

d = 2 u → Distancia entre los puntos

3- Producto escalar y producto vectorial entre u = -7i + 9j- 8k y  v = 9i + 3j -8k, tenemos:

u·v = (-7,9,-8)·(9,3-8) = -7(9) + 9·3 + 8·8 =  28 → producto escalar

Producto vectorial, tenemos:

uxv = $\left[\begin{array}{ccc}-7&9&-8\\9&3&-8\\\end{array}\right]$

uxv = 9(-8) - 3(-8) i + (-7)(-8) - 9(-8) j + (-7)(3) - (9)(9) K

uxv = -48 i + 128 j -120 K → Producto vectorial

Answer 2

Buscamos las componentes en x

|u|=2 ; θ=120°

u_x=2*cos⁡〖120°〗

     =2(-1/5)

     =-2/5

Buscamos las componentes en y

u_y=2*sen⁡〖120°〗

     =2(√3/2)

      =(2√3)/2

Resultante

(-2/5,(2√3)/2)  

|v|=3 ; θ=60°

Buscamos las componentes en x

v_x=3*cos⁡〖60°〗

=3(1/2)

   =3/2

Buscamos las componentes en y

v_y=3*sen⁡〖60°〗

=3(√3/2)

=(3√3)/2

Resultante

(3/2  ,(3√3)/2)

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

(v ) ̅- u ̅

5v ̅-2 u ̅

5(-2/5,(2√3)/2)          -2(3/2  ,(3√3)/2)

(-10,25√3)+(6,6√3)      

(-10+6,25√3+6√3)          

(-4,25; 5,69)          

       c)  Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

u ̅= 2i + 9j  y v ̅= -6i – 4j

Cos (u,v)=  ((u,) ̅   v ̅)/(|u ̅ |,| v ̅ | )      

((u,) ̅  v ̅ )=(2,9)*(-6-4)    

            =2(-6)+9(-4)    

            =12-36

           =-48

|u ̅ |=√(2^2+9^(2 ) )= √(4+81)=√85

|v ̅ |=√(〖(-6)〗^2+〖(-4)〗^(2 ) )= √(36+16)=√52

Cos (u,v)=  (-48)/(√85,√52)=(-48)/(9,21954*7,21110)=  (-48)/66,4=-0,72    

cos^(-1)⁡〖(-072)〗=136°

d) Encuentre la distancia entre los puntos:

(3,-4, 7) ; (3,-4,9)

x_1=(3),y_1=(-4),〖 z〗_1=(7)

x_2=(3),y_2=(-4),〖 z〗_2=(9)

d=√(〖〖(x〗_2-x_1)〗^2+〖〖(y〗_2-y_1)〗^2+〖〖(z〗_2-z_1)〗^2 )

d=√(〖(3-3)〗^2+〖(-4-(-4))〗^2+〖(9-7)〗^2 )

d=√(〖(3-3)〗^2+〖(-4-(-4))〗^2+〖(9-7)〗^2 )

d=√(0+0+4)

d=√4

d=2

e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar.

u = -7i + 9j- 8k; v = 9i  + 3j -8k  

□(→┬(u ) ̅  ) x □(→┬(v ) ̅  )=|-■(i&j&k@7&9&8@9&3&8)|

□(→┬(u ) ̅  ) x □(→┬(v ) ̅  )=|■(9&8@3&8)| □(→┬i )-|■(-7&8@9&8)| □(→┬j )+|■(-7&9@9&3)| □(→┬k )    

□(→┬(u ) ̅  ) x □(→┬(v ) ̅  )=[(9)*(8)-(8)*(3)] →┬i-[(-7)*(8)-(8)*(9)] □(→┬j )+[(-7)*(3)-(9)*(9)] →┬k  

□(→┬(u ) ̅  ) x □(→┬(v ) ̅  )=[72-24] →┬i-[-56-72] □(→┬j )+[-21-81] →┬k  

Respuesta:

□(→┬(u ) ̅  ) x □(→┬(v ) ̅  )=48→┬i+128□(→┬j )+102→┬k

□(→┬(u ) ̅  ) x □(→┬(v ) ̅ =) 〈48,128,102〉