Un pasajero corre con una velocidad de 4 m/s para lograr alcanzar el tren. Cuando está a una distancia D de la
portezuela más próxima, el tren comienza a moverse con aceleración constante a = 0,4 m/s2, alejándose del
pasajero.
a) Si D = 12 m y el pasajero sigue corriendo, ¿alcanzará a subirse al tren?
b) Haga un gráfico x(t) posición en función del tiempo para el pasajero y el tren para D=12 m y D=25 m.
c) Determine la separación crítica Dc para el cual el pasajero alcanza apenas a subirse al tren.
Respuestas
Para resolver la parte gráfica se tiene que el tren tiene una aceleración constante su gráfico de la posición unidimensional x₁ del tren en función del tiempo t es una parábola. Se toma un sistema de coordenadas y se gráfica la curva x₁(t) = at²/2, con a = 0.4 m s⁻².
Luego tomamos la posición x₂ del pasajero en el mismo sistema de coordenadas se puede parametrizar por:
x₂(t) = vt - D,
Con v = 4 m s⁻¹ y D la distancia que queremos hallar x₂(t) es entonces una recta con pendiente v y ordenada al origen -D. Ademas gráficamente, se puede buscar la recta con la máxima ordenada al origen posible que llegue a interceptar a la parábola.
Analíticamente, consideremos la función f(t) = |x₁(t) - x₂(t)|. Esta función es la distancia entre la persona y el tren. Si queremos que el pasajero alcance el tren, entonces f(t) = 0, para cualquier t.
Suponiendo que x₁(t) > x₂(t):
f(t) = at²/2 - vt + D = 0
t' = v/a ± √(v² - 2aD)
Si queremos que existan soluciones reales, entonces:
v² - 2aD ≥ 0
Despejando D:
D ≤ v²/(2a)
Por lo tanto, la distancia critica posible es:
D = v²/(2a) = 16m²s⁻²/0.8ms⁻² = 20 m