La cabeza giratoria de un aspersor con
alcance de 50 pies se ha de colocar en el centro de un
campo rectangular (vea la figura). Si el área del campo es
de 4000 ft2 y el agua debe llegar justo a las esquinas,
encuentre las dimensiones del campo.
Respuestas
Datos:
Aspersor de 50 pies
A = 4000 pies²
α = 50°
Con la medida de 50 pies eta ubicado en el centro del campo con angulo de elevación de 50°, con esto podemos determinar la mitad del largo y del ancho de longitud del campo:
senα = cateto opuesto / hipotenusa
cosα = cateto adyacente / hipotenusa
sen50° = Y/50 pies
Y = 50 pies * 0,766
Y = 38,30 pies
cos 50° = X/50pies
X = 50 pies * 0,643
X = 32,15 pies
Dimensiones del campo son:
Base = 2*X
Base = 64,3 pies
Altura = 2 Y
Altura = 76,6 pies
Respuesta:
Las dimensiones son
40(5)^(1/2) y 20(5)^(1/2)
Explicación:
El radio de 50ft es igual a la hipotenusa de 1/8 del rectángulo.
Por lo cual dividimos 4000ft^2 dentro de 8
4000/8 = 500fts^2
El teorema de Pitágoras dice
C^2=a^2+b^2
Esto lo formulamos para a
a=(c^2-b^2)^(1/2)
a=(50^2-b^2)^(1/2)
El área de un triángulo es
Area=(a*b)/2
500=(a*b)/2
Ahora el valor de a lo podemos en el área
500=(b*((50^2-b^2)^(1/2)))/2
Resolvemos
1000= b*((50^2-b^2)^(1/2))
Todo lo elevamos al cuadrado
1000000=(b^2)(50^2-b^2)
1000000 = 2500b^2 - b^4
b^4 - 2500b^2 +1000000 = 0
Ahora factorizamos
(b^2 - 2000)(b^2 - 500)
B1=(2000)^(1/2)
B1=20((5)^(1/2))
B2=(500)^(1/2)
B2= 10((5)^(1/2))
Entonces este triángulo tiene de
base 20((5)^(1/2))
altura 10((5)^(1/2))
Ahora esto lo multiplicamos por 2 para que nos de el alto total y base total
base 40((5)^(1/2))
altura 20((5)^(1/2))