Question

Dos estudiantes hacen una prueba para determinar el nivel de ruido que puede generar un teléfono celular , para ello utilizan una herramienta que mide los decibelios (dB,unidad de medida del nivel de sonido )en función de la distancia que existe entre ellos y el celular de esta forma que hay 10dB a una distancia de 2 m y 2dB a una distancia de 6m,los demás valores comprueban que se trata de una relación lineal .cuál será el dominio de dicha función entre los valores reales de ruido máximo y mínimo cuando ya no se escuché ningún ruido?
A)[0,14]
B)[0,7]
C)[0,22]
D)[0,1]
Porfavor me ayudarían con la resolución .

Answer 1

- De acuerdo a lo que menciona el enunciado  la intensidad del ruido (i) en dB que mide la herramienta es función de la distancia d en metros. 
  
 i = f (d)

- Como la relación es lineal, entonces la relación entre la intensidad del ruido y la distancia se define con la ecuación de la recta, como sigue:

 i = md + c  (1)

- Donde: m = es la pendiente de la recta 
               c  = es el intercepto de la recta. Es decir, el valor de la intensidad del ruido (i) cuando la distancia es 0, que representa el valor del ruido máximo

-  La pendiente de la recta m, es igual a:

    m = (i₂ - i₁)/ (d₂ - d₁)

- Siendo i₂ = 2 dB, i₁= 10 dB, d₂ =  6 m , d₁ =  2 m, la pendiente de la recta es:

 m = ( 2 dB - 10 dB) /( 6 m - 2 m) ⇒ m = - 8 dB / 4 ⇒ m = - 2 dB/m

- Quedando la ecuación de la recta, como sigue:

  i = - 2d + c  (2)

- Para hallar el valor del intercepto c, se sustituye el valor de i y d por cualquiera de los puntos dados (2 m, 10 dB) o (6m , 2 dB) y se despeja c:

 10 = - 2 (2) + c ⇒ c = 10 + 4 ⇒ c = 14 dB

- sustituyendo el valor de C, en la Ec. 2, la ecuación queda:

 i = - 2 d + 14 (3)

- El valor de ruido máximo es cuando la distancia d es igual a 0, es decir  que la intensidad del ruido, i , es:
 
 i máximo = 14 dB 


- El valor del ruido mínimo es ocurre cuando la intensidad del ruido  i, es cero y la distancia d, toma su máximo valor. despejando d de la ecuación 3, resulta:

0 = - 2 d + 14 ⇒ d = 14/ 2 ⇒ d = 7m

- Por  tanto, el dominio de la función i = f(d), esta dado por los valores que toma la distancia d, entre el valor máximo y mínimo del ruido i, estos valores son:       [0, 7] 

 - En la gráfica anexa se puede observar los puntos intermedios de la relación lineal y el dominio de la función [ 0, 7]