Question

un elipse de eje mayor paralelo al eje Y, tiene como centro el punto (2;4), si pasa por el punto(0;2), encontrar su ecuación general

Answer 1

Solución
Recordemos que la ecuación de una elipse de centro $h,k$ y eje focal paralelo al eje y es $\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1$
Además pasa por el punto $A=(0,2)$ y centro $C=(2,4)$
Entonces sustituyendo los datos en la ecuacion dada se obtiene:
$\frac{(0-2)^{2}}{b^{2}}+\frac{(2-4)^{2}}{a^{2}}=1\\\frac{(-2)^{2}}{b^{2}}+\frac{(-2)^{2}}{a^{2}}=1\\\frac{4}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}}=1\\4a^{2}+4b^{2}=a^{2}b^{2}$
Despejando $a$ se obtiene:
$4a^{2}=a^{2}b^{2}-4b^{2}\\a^{2}=\frac{a^{2}b^{2}-4b^{2}}{4}=\frac{b^{2}(a^{2}-4)}{4}\\a=\sqrt{\frac{b^{2}(a^{2}-4)}{4}}\\a=\frac{b}{2}\sqrt{a^{2}-4}$
De manera similar despejando $b$ nos queda:
$b=\frac{a}{2}\sqrt{b^{2}-4}$
Finalmente la ecuación buscada es:
$\frac{(x-2)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-4)^{2}}{a^{2}}=1\\\frac{(x-2)^{2}}{\frac{a^{2}}{4}(b^{2}-4)}+\frac{(y-4)^{2}}{\frac{b^{2}}{4}(a^{2}-4)}=1$
Saludos.