Question

Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triangulo rectangulo son dos numeros enteros consecutivos. Si la altura relativa a la hipotenusa mide √42 cm, ¿Cuando mide la hipotenusa?

Answer 1

Veamos. Sea x una de las proyecciones sobre la hipotenusa; x + 1 es la otra.

La hipotenusa mide entonces 2 x + 1

Sea u uno de los catetos y z el otro.

La altura correspondiente a la hipotenusa mide √42

Para el triángulo rectángulo se cumple: (2 x + 1)² = u² + v² (1)

Ahora bien: u, x y √42 es un triángulo rectángulo de hipotenusa u

z, x + 1 y √42 es otro triángulo rectángulo de hipotenusa z

Por lo tanto:

u² = x² + 42;
z² = (x +1)² + 42; reemplazamos en (1)

(2 x + 1)² = x² + 42 + (x + 1)² + 42; quitamos paréntesis:

4 x² + 4x  + 1= x² + 42 + x² + 2 x + 1 + 42; simplificando:

2 x² +  2 x - 84 = 0; ecuación de segundo grado en x cuyas soluciones son:

x = 6; x = - 7; esta última se desecha por ser negativa.

Finalmente la hipotenusa mide: 6 + 6 + 1 = 13 cm

Saludos Herminio