Question

Los términos cuarto y noveno de una progresión geométrica son y 1/2 y 16/243 . Determine el sexto término .

Answer 1

SOLUCIÓN: El sexto término es a₆ = 2/9

Nos dan como datos el cuarto y noveno término de la progresión, siendo éstos:

a₄ = 1/2
a₉ = 16/243

Una progresión geométrica sigue la forma:

$a_{n} =a_{1} *r ^{n-1}$

Siendo r la razón fija de la progresión

Debemos hallar r y a₁ para poder determinar los demás términos; expresamos lo siguiente:

a₄ = a₃ × r

1/2 = a₃ × r

1/2 = (a₂ × r) × r

1/2 = (a₁ × r) × r²

1/2 = a₁ × r³, despejamos a₁

a₁ = 1/2r³

Igual hacemos para a₉:

16/243 = a₁ × r⁸

a₁ = 16/243r⁸

Igualamos ambas expresiones:

$\frac{1}{2r^{3} } = \frac{16}{243r^{8} }$

243r⁸ = 16 × 2r³ 

243r⁸ = 32r³

243r⁵ = 32

$r= \sqrt[5]{ \frac{32}{243} } = \frac{2}{3}$

En base a ello hallamos a a₁:

$a_{1} = \frac{1}{2} * \frac{1}{ r^{3} } =\frac{1}{2} * \frac{1}{ (2/3)^{3} } = \frac{27}{16}$

POR LO QUE EL SEXTO TÉRMINO SERÁ:

a₆ = a₁ × r⁵

$a_{6} = \frac{27}{16} * ( \frac{2}{3} )^{5} = \frac{2}{9}$