Encuentra la ecuación canónica y la ecuación general de la elipse que cumple con las condiciones señaladas.
303. Sus vértices son (3, —4) y (3, 6) y los puntos de corte con el eje normal son (1, 1), (5 1).
Respuestas
Respuesta dada por:
2
Respuesta:
(x - 3)² (y - 1)²
---------- + ----------- = 1 ← ecuación canónica
2² 5²
25x² + 4y² - 150x - 8y + 129 = 0 ← ecuación general de la elipse
Explicación:
1) De acuerdo con la definición de tu libro, Matemáticas 10.2 Siglo XXI, en la página 116, los puntos de corte con el eje normal de una elipse con centro en (h,k) y eje focal paralelo al eje y son:
B₁ (h - b, k) y B₂ (h + b, k)
y los vértices son:
V₁ (h, k-a) y V₂ (h, k + a)
Donde, h y k son las coordenadas del centro, a es la longitud del semieje mayor, y b es la longitud del semieje menor.
2) Aplicando la definición del vértice dada arriba:
V₁ = (3, - 4); V₂ = (3,6) ⇒
h = 3
k - a = -4
k + a = 6
⇒ 2k = - 4 + 6 = 2 ⇒ k = 1
a = k + 4 = 1 + 4 = 5
Por tanto, el centro es (3, 1), y a = 5
3) Aplicando la definición de los puntos de corte con el eje normal dada arriba a los valores dados:
B₁ (h - b, k) = (1,1) y B₂ (h + b, k) = (5,1)
⇒ h - b = 1
h + b = 5
------------------
2h = 6 ⇒ h = 3 (lo cual ya se había encontrado arriba y esto es solo una ratificación)
⇒ b = 5 - h = 5 - 3 = 2
Por tanto, b = 2
4) Ya tienes los valores para reemplazar en la ecuación canónica.
La ecuación canónica de la elipse con centro en (h,k) y eje focal paralelo al eje y es:
(x - h)² (y - k)²
--------- + ---------- = 1
b² a²
Con lo que solo debes reemplazar b = 2, a = 5, h = 3, k = 1, y obtienes:
(x - 3)² (y - 1)²
---------- + ----------- = 1 ← ecuación canónica
2² 5²
5) La ecuación general se determina expandiendo los binomios y realizando las operaciones hasta encontrar una expresión de la forma:
Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, donde A y B son diferentes de 0 y tienen el mismo signo.
⇒
x² - 6x + 9 y² - 2y + 1
--------------- + --------------- = 1
4 25
25(x² - 6x + 9) + 4(y² - 2y + 1) = 100
25x² - 150x + 225 + 4y² - 8y + 4 = 100
25x² + 4y² - 150x - 8y + 129 = 0 ← ecuación general de la elipse
Te dejo un enlace a otro ejemplo de ecuaciones de elipse https://brainly.lat/tarea/8766946
(x - 3)² (y - 1)²
---------- + ----------- = 1 ← ecuación canónica
2² 5²
25x² + 4y² - 150x - 8y + 129 = 0 ← ecuación general de la elipse
Explicación:
1) De acuerdo con la definición de tu libro, Matemáticas 10.2 Siglo XXI, en la página 116, los puntos de corte con el eje normal de una elipse con centro en (h,k) y eje focal paralelo al eje y son:
B₁ (h - b, k) y B₂ (h + b, k)
y los vértices son:
V₁ (h, k-a) y V₂ (h, k + a)
Donde, h y k son las coordenadas del centro, a es la longitud del semieje mayor, y b es la longitud del semieje menor.
2) Aplicando la definición del vértice dada arriba:
V₁ = (3, - 4); V₂ = (3,6) ⇒
h = 3
k - a = -4
k + a = 6
⇒ 2k = - 4 + 6 = 2 ⇒ k = 1
a = k + 4 = 1 + 4 = 5
Por tanto, el centro es (3, 1), y a = 5
3) Aplicando la definición de los puntos de corte con el eje normal dada arriba a los valores dados:
B₁ (h - b, k) = (1,1) y B₂ (h + b, k) = (5,1)
⇒ h - b = 1
h + b = 5
------------------
2h = 6 ⇒ h = 3 (lo cual ya se había encontrado arriba y esto es solo una ratificación)
⇒ b = 5 - h = 5 - 3 = 2
Por tanto, b = 2
4) Ya tienes los valores para reemplazar en la ecuación canónica.
La ecuación canónica de la elipse con centro en (h,k) y eje focal paralelo al eje y es:
(x - h)² (y - k)²
--------- + ---------- = 1
b² a²
Con lo que solo debes reemplazar b = 2, a = 5, h = 3, k = 1, y obtienes:
(x - 3)² (y - 1)²
---------- + ----------- = 1 ← ecuación canónica
2² 5²
5) La ecuación general se determina expandiendo los binomios y realizando las operaciones hasta encontrar una expresión de la forma:
Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, donde A y B son diferentes de 0 y tienen el mismo signo.
⇒
x² - 6x + 9 y² - 2y + 1
--------------- + --------------- = 1
4 25
25(x² - 6x + 9) + 4(y² - 2y + 1) = 100
25x² - 150x + 225 + 4y² - 8y + 4 = 100
25x² + 4y² - 150x - 8y + 129 = 0 ← ecuación general de la elipse
Te dejo un enlace a otro ejemplo de ecuaciones de elipse https://brainly.lat/tarea/8766946
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