Question

Encuentra la ecuación canónica y la ecuación general de la elipse que cumple con las condiciones señaladas.

306. Centro en (—2, —1), uno de sus vértices es (—2, —6) y la longitud de su lado recto mide 4 unidades.

Answer 1

Respuesta:

Ecuación canónica

 (x + 2)²       (y + 1)²
----------- + ------------ = 1
    10              25

Ecuación general: (1/10)x² + (1/25)y² + (2/5)x + (2/25)y - 14/25 = 0

Explicación:

1) Centro (-2, -1) ⇒ h = - 2, k = - 1

2) Vértice = ( - 2, - 6)

Como ese vértice está por debajo del centro, significa que la elipse tiene el eje mayor paralelo al eje y.

Por tanto, tenemos las siguientes igualdades:

V₁ = (- 2, - 6) = (h, k - a)

⇒ k - a = - 6 ⇒ a = k + 6 = - 1 + 6 = 5

a = 5

3) longitud del lado recto = 4

La longitud del lado recto es igual a 2b² / a (esta igualdad está en tu libro, Matemáticas 10.2 Siglo XXI).

Por tanto:

2b² / a = 4 ⇒ b² = 2a = 2×5 = 10

⇒b = √10 ≈ 3,16

4) Ecuación canónica: ahora tienes todos los elementos para establecer la ecuación canónica:

a = 5, b = √10, h = - 2, k = -1 ⇒

 (x + 2)²       (y + 1)²
----------- + ------------ = 1 ← ecuación canónica
    10              25

5) Ecuación general: expande los binomios cuadrados y efectúa las operaciones hasta obtener una ecuación de la forma Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, donde A y B son distintos de 0 y tienen el mismo signo.

El resultado es:

(1/10)x² + (1/25)y² + (2/5)x + (2/25)y - 14/25 = 0 ← ecuación general

Te invito a ver el siguiente enlace con otro ejemplo de elipses https://brainly.lat/tarea/8766929