Question

309. ¿Cómo se determinan los elementos de una elipse, dada su ecuación general?

Answer 1

La ecuación general de la elpse es Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, donde A y B son diferentes de cero y con el mismo signo.

Nota que no depende de si el eje focal paralelo al eje x o al eje y.

Puedes conocer los elementos de la elipse de la siguiente forma:

1) Centro:

Coordenada x del centro: h = - D/(2A).

Coordenada y del centro: k = - E/(2C)

Centro:       $(- \frac{D}{2A} ,- \frac{E}{2C})$

2) semieje mayor:

a² = B

⇒a = +/- √B

3) semieje menor:

b² = A

⇒ b = +/- √A

4) Ecuación canónica:

Con eso ya sabes la dirección del eje focal y puedes escribir la ecuación canónica.

Si B > A la elipse es paralela al eje x y la ecuación canónica

 (x - h)²      (y - k)²
 --------- + ---------- = 1
     a²            b²

Si B < A la elipse es paralela al eje y y la ecuación canónica es:

 (x - h)²      (y - k)²
 --------- + ---------- = 1
     b²            a²


5) c = √ (a² - b²)

Anora es más fácil encontrar los otros elementos a partir de la ecuación canónica, de a, b, c, h y k.

6) Focos

Si el eje focal es paralelo al eje x

F₁ = (h -c, k); F₂ = (h, k -c)

Si el eje focal es paralelo al eje y

F₁ = (h, k - c)
F₂ = (h, k + c)

7) Vértices

Si el eje focal es paralelo al eje x

V₁ = (h - a,k)
V₂ = (h + a, k)

Si el eje focal es paralelo al eje y

V₁ = (h, k - a)
V₂ = (h, k + a)

8) Longitud del lado mayor: 2a

9) Longitud del lado menor: 2b

10) Ecuación del eje focal:

Si el eje focal es paralelo al eje x: y = k.

Si el eje focal es paralelo al eje y: x = h

11) Puntos de corte con el eje normal:

Si el eje focal es paralelo al eje x:

B₁ = ( h , k - b)
B₂ = (h, k + b)

Si el eje focal es paralelo al eje y:

B₁ = (h -b, k)
B₂ = (h + b, k)

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