199. Observa la siguiente figura. Luego, determina la ecuación de la circunferencia que se encuentra inscrita en el triángulo (p.97)
Respuestas
(x - 1,134)² + (y - 0,788)² = (1,839)²
o
(x - 1,134)² + (y - 0,788)² = 3,38
Explicación:
Este procedimiento es bastante largo.
1) Debes calcular el centro de la circunferencia.
Ese punto se llama incentro del triángulo.
El incentro se encuentra en la intersección de las tres bisectrices.
2) Por lo tanto, antes debes encontrar las bisectrices internas de los lados que componen el triángulo.
3) Para ello, lo primer es determinar las ecuaciónes de las rectas que contienen los tres lados del triángulo.
4) Luego tendrás que hallar el radio, para lo cual usas la fórmula de la distancia del incentro a cualquiera de los lados del triángulo.
Vamos paso a paso:
5) Determinación de las tres rectas (lados del triángulo).
Para ello usas la ecuación de la recta entre cada par de puntos. Estas son las ecuaciones resultantes:
Lado AB: 2x+3y+2 = 0
Lado BC: 5x - 2y - 14 = 0
Lado AC: x - 8y + 20 = 0
6) Determinación de las bisectrices.
Solo hace falta calcular dos bisectrices.
7) Bisectriz de los lados AB y AC
Punto genérico entre las dos rectas: P(x,y)
Distancia del punto P(x,y) a la recta AB:
|2x + 3y + 2| |2x + 3y + 2|
----------------- = --------------------
√ (2² + 3²) √13
Distancia del punto P(x,y) a la recta AC
|x - 8y + 20| |x - 8y + 20|
----------------- = ------------------
√ (1² + 8²) √65
Iguala las dos distancias (por definición de bisectriz el punto P(x,y) está a la misma distancia de las dos rectas):
|2x + 3y + 2| |x - 8y + 20|
------------------ = -----------------
√13 √65
Usa el conocimiento de la ubicación aproximada del incentro para simplificar la igualdad, eliminando las barras de los valores absolutos:
(√65) (2x + 3y + 2) = (√13)(x - 8y + 20)
Efectuando las operaciones llegas a:
- 2 √5 x + x - 2√5 + 20
y = ---------------------------------
8 + 3√5
8) Bisectriz de los lados AB y BC
Distancia de las dos rectas al punto genérico P(x,y)
|2x + 3y + 2| |5x - 2y - 14|
------------------ = -------------------
√(2² + 3²) √(5² + 2²)
Nuevamente usa el hecho el conocimiento de la ubicación del incentro para eliminar las barras de la función valor absoluto.
2x + 3y + 2 - (5x - 2y - 14)
--------------- = --------------------
√13 √29
Cuya solución es:
2√29 x + 5√13 x + 2√29 - 14√13
y = --------------------------------------------------
2√13 - 3√29
9) Toca hallar la solución (intersección) de las dos bisectrices:
- 2 √5 x + x - 2√5 + 20
y = ---------------------------------
8 + 3√5
-2√29 x +5√13 x + 2√29 -14√13
y = --------------------------------------------------
2√13 - 3√29
La solución es x ≈ 1,134; y ≈ 0,788
Es decir el centro de la circunferencia es (1.134, 0.788)
10) Ahora debes hallar el radio de la circunferencia.
El radio es la distancia dede el centro (1.134, 0.788) hasta cualquiera de las rectas.
Con la recta 2x + 3y + 2 = 0 , resulta:
|2(1,134) + 3(0,788) + 2|
------------------------------------ = 1,839
√13
Verifica usando la recta x - 8y + 20
|1,134 - 8(0,788) + 20|
------------------------------ = 1,839
√65
Completa la verificación usando la recta 5x - 2y - 14
|5(1,134) - 2(0,788) - 14|
----------------------------------- = 1,839
√29
Así que ya lo tienes verificado y la ecuación de la circunferencia es:
(x - 1,134)² + (y - 0,788)² = (1,839)² = 3,38
Adicionalmente, te adjunto figura mostrando la circunferencia inscrita en el triángulo dado.
Puedo recomendarte otros ejemplos de ecuaciones de la circunferencia en el enlace https://brainly.lat/tarea/8766919
Respuesta:
(x - 1,134)² + (y - 0,788)² = (1,839)²
o
(x - 1,134)² + (y - 0,788)² = 3,38
Explicación paso a paso:
Este procedimiento es bastante largo.
1) Debes calcular el centro de la circunferencia.
Ese punto se llama incentro del triángulo.
El incentro se encuentra en la intersección de las tres bisectrices.
2) Por lo tanto, antes debes encontrar las bisectrices internas de los lados que componen el triángulo.
3) Para ello, lo primer es determinar las ecuaciónes de las rectas que contienen los tres lados del triángulo.
4) Luego tendrás que hallar el radio, para lo cual usas la fórmula de la distancia del incentro a cualquiera de los lados del triángulo.
Vamos paso a paso:
5) Determinación de las tres rectas (lados del triángulo).
Para ello usas la ecuación de la recta entre cada par de puntos. Estas son las ecuaciones resultantes:
Lado AB: 2x+3y+2 = 0
Lado BC: 5x - 2y - 14 = 0
Lado AC: x - 8y + 20 = 0
6) Determinación de las bisectrices.
Solo hace falta calcular dos bisectrices.
7) Bisectriz de los lados AB y AC
Punto genérico entre las dos rectas: P(x,y)
Distancia del punto P(x,y) a la recta AB:
|2x + 3y + 2| |2x + 3y + 2|
----------------- = --------------------
√ (2² + 3²) √13
Distancia del punto P(x,y) a la recta AC
|x - 8y + 20| |x - 8y + 20|
----------------- = ------------------
√ (1² + 8²) √65
Iguala las dos distancias (por definición de bisectriz el punto P(x,y) está a la misma distancia de las dos rectas):
|2x + 3y + 2| |x - 8y + 20|
------------------ = -----------------
√13 √65
Usa el conocimiento de la ubicación aproximada del incentro para simplificar la igualdad, eliminando las barras de los valores absolutos:
(√65) (2x + 3y + 2) = (√13)(x - 8y + 20)
Efectuando las operaciones llegas a:
- 2 √5 x + x - 2√5 + 20
y = ---------------------------------
8 + 3√5
8) Bisectriz de los lados AB y BC
Distancia de las dos rectas al punto genérico P(x,y)
|2x + 3y + 2| |5x - 2y - 14|
------------------ = -------------------
√(2² + 3²) √(5² + 2²)
Nuevamente usa el hecho el conocimiento de la ubicación del incentro para eliminar las barras de la función valor absoluto.
2x + 3y + 2 - (5x - 2y - 14)
--------------- = --------------------
√13 √29
Cuya solución es:
2√29 x + 5√13 x + 2√29 - 14√13
y = --------------------------------------------------
2√13 - 3√29
9) Toca hallar la solución (intersección) de las dos bisectrices:
- 2 √5 x + x - 2√5 + 20
y = ---------------------------------
8 + 3√5
-2√29 x +5√13 x + 2√29 -14√13
y = --------------------------------------------------
2√13 - 3√29
La solución es x ≈ 1,134; y ≈ 0,788
Es decir el centro de la circunferencia es (1.134, 0.788)
10) Ahora debes hallar el radio de la circunferencia.
El radio es la distancia dede el centro (1.134, 0.788) hasta cualquiera de las rectas.
Con la recta 2x + 3y + 2 = 0 , resulta:
|2(1,134) + 3(0,788) + 2|
------------------------------------ = 1,839
√13
Verifica usando la recta x - 8y + 20
|1,134 - 8(0,788) + 20|
------------------------------ = 1,839
√65
Completa la verificación usando la recta 5x - 2y - 14
|5(1,134) - 2(0,788) - 14|
----------------------------------- = 1,839
√29
Así que ya lo tienes verificado y la ecuación de la circunferencia es:
(x - 1,134)² + (y - 0,788)² = (1,839)² = 3,38
Adicionalmente, te adjunto figura mostrando la circunferencia inscrita en el triángulo dado.
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