Determina la posición relativa de los objetos geométricos en cada caso. Luego, indica los puntos de intersección sí existen.
180. Circunferencia x² + y² - 6x + 2y + 1 = 0 con la recta 2x - 3y + 6 = 0
181. La circunferencia x² + y² - 6x + 6y - 7 = 0 y la recta 5x + 4y - 34 = 0
182. La recta -5x - 6y = -24 y la circunferencia con ecuación x² + y² + 2x + 2y - 18 = 0
Respuestas
Determina la posición relativa de los objetos
geométricos en cada caso. Luego, indica los puntos de intersección sí existen.
180. Circunferencia x² + y² - 6x + 2y + 1 = 0
con la recta 2x - 3y + 6 = 0
Respuesta: exterior.
Explicación:
1) El primer paso es resolver el sistema de ecuaciones dado,
lo cual indicará si hay puntos de intersección.
x² + y² - 6x + 2y + 1 = 0
2x - 3y + 6 = 0
2) Despeja y de la ecuación de la recta y sustituye en la ecuación de la
circunferencia:
y = (2/3)x + 2
x² + [ (2/3)x + 2 ] ² - 6x + 2[(2/3)x + 2 ] + 1 = 0
3) Resuelve las operaciones y simplifica:
x² + (4/9)x² + (8/3)x + 4 - 6x + (4/3)x + 4 + 1 = 0
(13/9)x² + (12/3)x - 6x + 9 = 0
(13/9)x² + 4x - 6x + 9 = 0
(13/9)x² - 2x + 9 = 0
13x² - 18x + 81 = 0
Resuelve usando la ecuación cuadrática y encontrás que no tiene solución:
El discrimínate es b² - 4ac = (-18)² - 4(13)(81) < 0.Al ser el discriminante menor que cero la
ecuación no tiene soluciones en el conjunto de los números reales.
Por tanto, no hay puntos de intersección entre la recta y
la circunferencia, lo que quiere decir que la recta es exterior a la
circunferencia.
181. La circunferencia x² + y² - 6x + 6y - 7 =
0 y la recta 5x + 4y - 34 = 0
Respuesta: secante
Explicación:
1) Resuelve el sistema
x² + y² - 6x + 6y - 7 = 0
5x + 4y - 34 = 0
2) Despeja y de la ecuacion de la recta:
y = - (5/4)x + 34/4
y = - (5/4)x + 17/2
3) Reemplaza en la ecuación de la circunferencia
x² + [ -(5/4)x + 17/2]² - 6x + 6 [ -(5/4)x + 17/2] - 7 = 0
4) Realiza las operaciones y simplifica:
x² + (25/16)x² - (85/4)x + 289/4 - 6x - (30/4)x + 51 - 7 = 0
(41/16)x²
- (139/4)x + 465/4 = 0
41x² - 556x + 1860 = 0
Usando la ecuación cuadrática obtienes x = 1, x = 310/41
Reemplazando en la ecuación de y obtienes: y = 1, y = -39/41
Por tanto, hay dos puntos de intersección, por lo que la recta es secante a la circunferencia.
182. La recta -5x - 6y = -24 y la circunferencia con ecuación x² + y² + 2x + 2y - 18 = 0
Respuesta: exteriorExplicación:
1) Escribe el sistema, para resolverlo
-5x - 6y = -24
x² + y² + 2x + 2y - 18 = 0
2) Resuelve
Despeja y: y = -(5/6)x + 4
Reemplaza: x² + [(-5/6)x + 4]² + 2x + 2[(-5/6)x + 4] - 18 = 0
Realiza las operaciones:
x² + (25/36)x² - (40/6)x + 16 + 2x - (5/3)x + 8 - 18 = 0
(61/36)x² - (19/3)x + 6 = 0
61x² - 228x + 216 = 0
Al calcular el discriminante (-228)² - 4(61)(216) = -720, el valor negativo indica que no existe solución.
Por lo tanto, no hay intersección entre la recta y la circunferencia, por lo que la recta es externa a la circunferencia.
Puedes ver otros ejemplos de la circunferencia en https://brainly.lat/tarea/8766823