Question

Observa y halla la ecuación general de la circunferencia en cada caso (p.90)

167. La circunferencia que pasa por los puntos A y B y y cuyo centro pertenece a la recta l.

168. La circunferencia que pasa por los puntos A, B y C

Answer 1

Son dos preguntas.

La ecuación general de la circunferencia tiene la forma:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0.

Por tanto, necesitas determinar D, E y F.


167. La circunferencia que pasa por los puntos A y B y y cuyo centro pertenece a la recta l.

Respuesta: x² + y² - 8x + 4y  = 0

Explicación:

En este caso tienes dos puntos que pertenecen a la circunferencia: A = (6,2); B = (8,0)

Adicionalmente, conoces que el centro está en la intersección entre la recta I y la recta que es perpendicular al segmento AB y que pasa por su punto medio.

Por tanto, la primera parte del trabajo es encontrar el centro (es decir la intersección entre la recta I y la recta que es perpendicular al segmento AB y que pasa por el punto medio del mismo).

1) Punto medio del segmento AB:

A = (6,2)
B = (8,0)
Punto medio:
       x = (6+8) / 2 = 14/2 = 7
       y = (2+0) / 2 = 2/2 = 1

        (7,1)

2) Pendiente del segmento AB

m2 = Δy / Δx = -2 / 2 = - 1

3) Pendiente de la recta que es perpendicular al segmento ABÑ

m1 × m2 = - 1 ⇒ m1 = - 1 / (m2) = - 1 / (-1) = 1

4) Ecuación de la recta que pasa por (7,1) y tiene pendiente 1
 
y - 1 = 1 · (x - 7) ⇒ y = x - 7 + 1

⇒ y = x - 6

5) Ecuación de la recta I

puntos (-1,0); (4,-2)

pendiente: (0 - (-2) ) / (-1 - 4) = - 2/5

Ecuación: y - 0 = -(2/5) (x + 1)

⇒ y = -(2/5)x - 2/5

6) Intersección de la recta I con y = x - 6

- (2/5)x  - 2/5 = x - 6

x + (2/5)x = 6 - 2/5

(7/5)x = 28/5

x = 28/7

x = 4.

⇒ y = 4 - 6 = - 2

=> centro = (4, - 2)

Ahora puedes aplicar la fórmula de la ecuación canónica con las coordenadas el centro a alguno de los puntos dados para encontrar el radio:

7) (x - h)² + (y - k)² = r²

h = 4, k = - 2,

x = 8, y = 0

⇒ (8 - 4)² + (0 + 2)² = r²

16 + 4 = r²

20 = r²

8) Y ya tienes la ecuación canónica:

(x - 4)² + (y + 2)² = 20

9) Para hallar la forma general expande los cuadrados:

x² - 8x + 16 + y² + 4y + 4 = 20

x² + y² - 8x + 4y = 0

Esa es la respuesta: x² + y² - 8x + 4y  = 0


168. La circunferencia que pasa por los puntos A, B y C

Respuesta: x² + y² - 3x - 3y - 8 = 0

Expliación:
Al tener tres puntos, puedes sustituir cada par de coordenadas y obtener tres ecuaciones, donde D, E y F son las variables a determinar.

Por tanto, lo que deberás hacer es resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Este procedimiento está detallado en tu libro, Mateáticas 10.2 Siglo 21 (página 87).

Puntos:

A(2,-2), B(-1,4), C(5,2)

1) Reemplaza cada punto en la forma general de la ecuación para obtener una ecuación por cada punto dado:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

punto A ⇒ 2² + (-2)² + D(2) + E(-2) + F = 0

⇒ 4 + 4 +2D - 2E + F = 0

⇒ 2D - 2E + F = - 8

punto B ⇒  (-1)² + (4)² + (-1)D + 4E + F = 0

⇒ 1 + 16 - D + 4E + F = 0

⇒ - D + 4E + F = - 17

punto C ⇒ 5² + 2² + 5D + 2E + F = 0

⇒ 25 + 4 + 5D + 2E + F = 0

⇒ 5D + 2E + F = 29

2) Este es el sistema de ecuaciones resultante:

2D - 2E + F = - 8
-D + 4E + F = -17
5D + 2E + F = - 29
 
3) Al resolver ese sistema obtienes:

D = - 3
E = - 3
F =  -8

Por tanto, la ecuación general es:

x² + y² - 3x - 3y - 8 = 0

Puedes reemplazar los pares de coordenadas de cada punto para verificar la validez de la ecuación.

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