Question

185. Determina la ecuación de una circunferencia de radio r = 5 que es tangente a la recta 3x + 4y- 32 = 0 y pasa por P(5, 4).

Answer 1

Respuesta:

Hay dos circunferencias que son perpendiculares a la recta dada y pasan por el punto (5,4); sus ecuaciones son:

1) (x - 2)² + y² = 5²

2) (x - 8)² + (y - 8)² = 5²

Explicación:

A continuación está el procedimiento detallado para hallar la solución del problema.

Te invito a ver la imagen adjunta con las dos circunferencias encontradas.

1) Encuentra  la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,4) y es perpendicular a la recta 3x + 4y - 32 = 0
.
a) pendiente de la recta 3x+ 4y - 32 = 0

y = -(3/4)x + 32/4

⇒ pendiente m'= -3/4

b) la pendiente de la recta perpendicular es el negativo del inverso; es decir

 m = - 1 / (-3/4) = 4/3

c) usa la ecuación punto pendiente con m = 4/3 y el punto (5,4)

⇒ y - 4 = (4/3) (x - 5)

y = 4x/3 - 20/3 + 4

y = 4x/3 -8/3

2) Establece la ecuación canónica de la circunferencia:

(x - h)² + (y - k)² = 5²

3) Reemplaza x, y con las coordenadas del punto conocido x = 5, y = 4

⇒ (5 - h)² + (4 - k)² = 25

5) El centro de la circunferencia pertenece a la recta y = 4x/3 - 8/3; por tanto, se cumple que:

k = 4h/3 - 8/3

4) Resuelve el sistema de ecuaciones:

(5 - h)² + (4 - k)² = 25
k = 4h/3 - 8/3


Hay dos soluciones:

1) h = 2, k = 0

2) h = 8, k = 8

Eso significa que hay dos circunferencias que son perpendiculares a la recta dada y pasan por el punto (5,4); una tiene centro (2,0) y la otra centro (8,8)

Las ecuaciones respectivas son:

1) (x - 2)² + y² = 5²

2) (x - 8)² + (y - 8)² = 5²

Esas son las soluciones.

Mira las circunferencias en la imagen adjunta.

Te invito también a ver otros ejemplos de circunferencias en
https://brainly.lat/tarea/8766834

Answer 2

Respuesta:

Saludos excelente resolución, con ese mismo procedimiento obtuve la respuesta, pero creo que el ejercicio esta mal planteado, esto es debido a que solo el punto pasa por las dos circunferencias, mas no la recta, el punto 5,4 no forma parte de la recta, y por ende no es tangebte a los círculos. Yo creo que esta mal estructurado el enunciado.