Question

Indica en cada caso un punto P, sobre la circunferencia unitaria, cuyo ángulo tita determinado cumpla la condición que se pide. 249. cos tita= -1/3. 250. tan tita= -2. 251. sen tita= 4/5. 252. sec tita= -1. 253. csc tita= -3. 254. cot tita=1.

Answer 1

Para determinar un punto en una circunferencia unitaria, debemos tener presente la ecuación

$x^{2} + y^{2} = 1$

Así mismo debemos conocer las siguientes funciones trigonométricas:

cos(θ) = x 
sen(θ) = y
tan(θ) = y/x
sec(θ) = 1/x
csc(θ) = 1/y
cot(θ) = x/y 

de esta manera podemos buscar cada punto solicitado:

249. cos(θ) = -1/3
es decir que
x=-1/3  sustituyendo en la ecuación de circunferencia unitaria tenemos
$( -\frac{1}{3} )^{2} + y^{2} = 1$    resolviendo las potencias tenemos
$\frac{1}{9} + y^{2} = 1$                despejando y, tenemos
$y^{2} = \frac{8}{9}$                      extrayendo la raíz cuadrada
$y = +- \frac{2 \sqrt{2} }{3}$

Entonces tenemos que el punto es $P( -\frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2} }{3})$

250. tan(θ) = -2 
es decir que 
y/x = -2  despejando y tenemos
y = -2x   sustituyendo en la ecuación de circunferencia unitaria tenemos   
$x^{2} + (-2x)^{2} = 1$   resolviendo las potencias tenemos
$x^{2} + 4x^{2} = 1$        despejando x tenemso
$x = +- \frac{1}{ \sqrt{5} }$

buscando el valor de y
y = -2x
y = $-2( \frac{1}{ \sqrt{5} } )$
y = $- \frac{2}{ \sqrt{5} }$

Entonces tenemos que el punto es $P ( \frac{1}{ \sqrt{5} } , -\frac{2}{ \sqrt{5} })$

251. sen(θ) = 4/5
es decir que
y = 4/5  sustituyendo en la ecuación de circunferencia unitaria tenemos
$x^{2} + (\frac{4}{5}) ^{2} = 1$    resolviendo las potencias tenemos
$x^{2} + \frac{16}{25} = 1$           despejando x, tenemos
$x^{2} = \frac{9}{25}$                  extrayendo la raíz cuadrada 
$x = \frac{3}{5}$

Entonces tenemos que el punto es $P( \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

252. sec(θ) = -1
es decir que
$\frac{1}{x} = -1$    despejando x tenemos
x = -1     sustituyendo en la ecuación de circunferencia unitaria tenemos
$(-1)^{2} + y^{2} = 1$            resolviendo las potencias tenemos
$1 + y^{2} = 1$                       despejando y, tenemos
y=0

Entonces tenemos que el punto es P (-1,0)

253. csc(θ) = -3
es decir que
1/y = -3       despejando y tenemos
y = -1/3       sustituyendo en la ec. de circunferencia unit tenemos
$x^{2} + (-1/3)^{2} = 1$     resolviendo las potencias tenemos
$x^{2} + 1/9 = 1$                despejando x tenemos
$x^{2} = 8/9$                       extrayendo la raíz cuadrada
$x = \frac{ 2\sqrt{2} }{3}$

Entonces tenemos que el punto es $P( \frac{2 \sqrt{2} }{3} , -\frac{1}{3})$

254. cot(θ) = 1
es decir que
x/y = 1     despejando x tenemos
x = y        sustituyendo en la ec de circunferencia
$y^{2} + y^{2} = 1$     despejando y tenemos
$y^{2} = 1/2$              extrayendo la raíz cuadrada tenemos
$y = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

Entonces tenemos que el punto es $P( \frac{1}{ \sqrt{2} }, \frac{1}{ \sqrt{2} } )$


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