Question

usted hace un tiempo atrás coloco un centro de fotocopiado, y como el negocio ha sido fructifero, está pensando en abrir un nuevo local en el barrio universitario. Pero se dio cuenta que primero debe ordenar sus finanzas y tras una pequeña auditoria que ud realizó determino lo sgte:
Por q de fotocopia que realice tendrá un costo de $30, además de iun valor fijo de $4000.
por otro lado, usu ingreso estará determinado por (q)=70q-0,01q2
para abrir un nuevo local debe saber :}a) cuantas fotocopias debe realizar para que sus ingresos sean mayores que sus costos ? de el rango de valores
b) la función que representa las utilidades de su negocio
c) cuantas fotocopias debe realizar para qur ud tenga utilidades de $11000

Answer 1

- De acuerdo al enunciado los gastos (que se representa con la letra G) del Centro de Fotocopiado existente, esta dado por la siguiente relación:

  G= 30q +4000 (Ecuación 1)

- Y los ingresos (que se denota con la letra I), esta dado por la ecuación:

   I = 70q - 0,01q² (Ecuación 2)

- La Ganancia o Utilidad del negocio (que se representa con la letra  U), es igual a los Ingresos (I) menos los Gastos (G), así:

   U = I - G = 70q - 0,01q² -30q - 4000

- Ordenando  y simplificando la ecuación anterior, resulta que b) la Utilidad del negocio esta dada por la siguiente función:
   
   U = -0,01q² + 40q - 4000 (Ecuación 3)

- Para conocer el número de fotocopias (q) que se  deben realizar para que el negocio sea rentable,  los ingresos deben ser mayor o igual a los gastos, es decir, la Utilidad debe ser mayor o mínimo igual a cero.

- Quedando la Ecuación 3, que es una función cuadrática como sigue:
   
 -0,01q² + 40q - 4000 = 0 (Ecuación 4)

- Resolviendo la función cuadratica, se tiene:

    q = (-b +- √ (b² - 4ac) /2a (Ecuación 5)

 -  donde: a= -0,01, b= 40 y c= - 4000

- Sustituyendo los valores de a, b y c, se tiene que el número de fotocopias que se deben realizar para que el negocio sea rentable, esta en el siguiente rango:

       103 < q < 3897

- c) Para que se tenga una Utilidad del negocio igual a $11000, el número de fotocopias, será: 

     U = 11000 = -0,01q² +40q - 4000 (Ecuación 6)

- Reordenando, simplificando e igualando a cero la ecuación 6, se tiene la función cuadrática siguiente:
     
   -0,01q² + 40q - 15000 = 0  (Ecuación 7)
    
- Resolviendo la función cuadrática, sustituyendo los valores de a= -0,01, b= 40 y c= -15000, en la ecuación 5, resulta el número de fotocopias(q) que se deben realizar para que la utilidad del negocio sea $ 11000, es de:

    q = 103 fotocopias