Question

Como puedo saber si esta proposición es falsa o verdadera:

Si P(A) = P(B) = p, entonces P(A ∩ B ) ≤ p²

Answer 1

Hola!

Partimos de lo primero, es una proposición condicional o de implicación. Escrita más matemáticamente:

 P(A) = P(B) = p   ⇒   P(A ∩ B ) ≤ p²

Entonces la primera proposición (la que está antes de ⇒) se llama antecedente y la segunda consecuencia. Este tipo de proposiciones son falsas si y solo si la consecuencia es falsa, de lo contrario es positiva.

Entonces, P(A) es igual a P(B), cuando se P(A∩B) que se lee A intersección B, quiere decir todos los componentes que están en A que también contiene B, que, como son iguales, son todos los mismos componentes. 

Es decir, P(A)=P(B) por lo que P(A)=P(B)=P(A∩B). Todas son lo mismo. Y como p es igual a todas las anteriores al elevarlo al cuadrado podría ser mayor o igual, porque sabemos que solo son cantidades enteras.

Entonces, se puede decir que la proposición es falsa porque la consecuencia es falsa. Aunque, puede ser verdadera en el caso de que "p" sea 1, en este caso los valores serían iguales; pero la proposición correcta debería ser: P(A ∩ B ) ≥ p².

Finalmente la respuesta es que la proposición es falsa.

Espero te ayude y te sirva. Saludos,

Giovany Rodríguez