Question

Sean x, y, z є R2. Si x.y = x.z y x ≠ 0, entonces y = z

Answer 1

El ejercicio se trata de una demostración analítica en R2, 

Sean X, Y, Z € R2 de tal forma que: 

X=(X1,X2)
Y=(Y1,Y2) 
Z=(z1,z2) 

X.Y=X.Z  de tal forma que X≠0

Aplicamos el producto Escalar entre los vectores y desarrollamos. 

(X1, X2) . (Y1, Y2) = (X1, X2) . (Z1, Z2) 
(X1Y1 +X2Y2) = (X1Z1 + X2 Z2) 
X1(Y1-Z1)=X2(Y2-Z2) 
 X1(Y1-Z1)-X2(Y2-Z2)=0 

Sabemos que X  ≠ 0 por lo tanto X1  ≠ 0 y Xy ≠0

Entonces para que la igualdad se cumpla se debe cumplir que: 
Y1-Z1=0 y Y2-Z2=0 
Por lo tanto Y1=Z1 y Y2=Z2 

Por lo que podemos concluir que Z=Y