Un terreno rectangular se quiere cercar y dividir en 3 porciones iguales.si el área que debe cercarse es de 4000 m^2 cuales deben ser las dimensiones del terreno para que la cantidad de cerca utilizada sea mínima. .
Respuestas
Las dimensiones del terreno con el área dada y de menor cantidad de cerca necesaria para cercar y dividir en 3 porciones iguales son: 40√5 metros de longitud horizontal y 20√5 metros de longitud de lados verticales y divisiones internas.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el perímetro del terreno rectangular cercado. Si llamamos x la longitud del lado horizontal y y a la longitud de los lados verticales y las divisiones, ver figura anexa; la función objetivo viene dada por:
Perímetro = P = 2x + 4y metros
Lo conveniente es que P esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el área (A) del terreno cercado (ecuación auxiliar) para despejar y en función de x:
A = 4000 = x*y ⇒ y = 4000/x
por tanto la función objetivo es
P = 2x + 4(4000/x) = 2x + 16000/x
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de P.
P’ = 2 - 16000/x²
P' = 0 ⇒ - 16000/x² = 0 ⇒ x = 40√5 m
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
P'' = 32000/x³
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
P''(40√5) = 32000/(40√5)³ > 0 ⇒
x = 40√5 es un mínimo de la función P.
Sustituimos el valor de la longitud del lado horizontal en la ecuación de cálculo del lateral y:
y = 4000/x ⇒ y = 4000/(40√5) = 20√5 m
Las dimensiones del terreno con el área dada y de menor cantidad de cerca necesaria para cercar y dividir en 3 porciones iguales son: 40√5 metros de longitud horizontal y 20√5 metros de longitud de lados verticales y divisiones internas.
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Las dimensiones del terreno para que el área sea mínima son:
- x = 40√5m
- y = 20√5m
¿Que son las derivadas?
Las derivadas en forma teóricas son razones de cambio con la que una función o una variable varia en fucíon del tiempo.
¿Qué es el área?
El área es la cuantificación del tamaño que tiene una superficie o cara plana, esta se expresa en unidades métricas cuadradas como el metro cuadrado.
¿Qué es el perímetro?
El perímetro es la suma de los lados de una figura plana, cuando estos son recto, y cuando son curvos es la suma de la trayectoria de dichas curvas.
El área esta dado por
Área = xy
4000 = xy
y = 4000/x
El perímetro esta dado por
P = 2x + 4y en este caso es 4y, ya que hay dos divisiones adicionales
P = 2x + 4(4000/x)
P = 2x + 16000/x
Aplicamos la primera derivada:
P'(x)= 2 + 16000(-1/x²)
Igualamos a 0 para hallar el punto crítico
2 - 16000/x² = 0
-16000/x²= -2
x² = -16000/-2
x = 40√5m Este debería ser el valor mínimo
Comprobamos con la segunda derivado y se debe cumplir que la evaluación de resultado sea mayor a 0
P''(x) = -16000 (-2x /x³) = 32000/x³
32000/x³
32000/(40√5)³ = 0.04472 es mayor que 0
y = 4000/40√5
y = 20√5 m
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