Una caja cerrada con base cuadrada tiene un volumen de 2000 pulg3 . el material de la base y la tapa cuesta 3 centavos la pulgada cuadrada, mientras que el material para los lados cuesta 1.5 centavos la pulgada cuadrada. estime las dimensiones de la caja de modo que el costo total del material sea mínimo. (x = base de la caja, y = profundidad de la caja) !
Respuestas
Respuesta dada por:
55
Sea x el lado de la base e y la altura de la caja
V = x² y
Superficie total S = 2 x² + 4 x y: y = V / x²
S = 2 x² + 4 x V / x² = 2 x² + 4 V / x = 2 x² + 8000 / x
Una función es mínima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es positiva en el punto crítico.
Derivamos S' = 4 x - 8000 / x² = 0
Nos queda x = ∛2000 ≈ 12,6 pulg
S'' = 4 + 16000 / x³ > 0 para x = 12,6 pulg. Hay un mínimo.
y = V / x² = 2000 / 12,6² ≈ 12,6
La caja resulta ser un cubo de 12,6 pulg de lado.
Costos.
Superficies de las bases: 3 centavos . 2 . 12,6² = $9,50
Superficies laterales: 1.5 centavos . 4 . 12,6² = $9,50
Total del costo: $19,00
Saludos Herminio
V = x² y
Superficie total S = 2 x² + 4 x y: y = V / x²
S = 2 x² + 4 x V / x² = 2 x² + 4 V / x = 2 x² + 8000 / x
Una función es mínima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es positiva en el punto crítico.
Derivamos S' = 4 x - 8000 / x² = 0
Nos queda x = ∛2000 ≈ 12,6 pulg
S'' = 4 + 16000 / x³ > 0 para x = 12,6 pulg. Hay un mínimo.
y = V / x² = 2000 / 12,6² ≈ 12,6
La caja resulta ser un cubo de 12,6 pulg de lado.
Costos.
Superficies de las bases: 3 centavos . 2 . 12,6² = $9,50
Superficies laterales: 1.5 centavos . 4 . 12,6² = $9,50
Total del costo: $19,00
Saludos Herminio
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