Question

Sabiendo que tres números forman una progresión geométrica y su suma es 130 y si se le añade 20 al del centro sin alterar sus extremos se vuelve una progresión aritmética cual es la progresión geometrica

Answer 1

a + b + c = 130

P.A. =  a,    b+20,    c
             +m        +m

a+m = b+20

b+20+m = c
a+m+m = c
a+2m = c

Pero sabemos que: a + b + c = 130

a + b+20 + c = 130+20

a + a+m + a+2m = 150
3a + 3m = 150
3(a + m) = 150
a + m = 150/3
a + m = 50

b+ 20 = 50
b = 50-20
b = 30

P.G. =  a,    b,    c
               *n   *n

a*n = b
a = b/n

c = b*n

a + b + c = 130
a + 30 + c = 130
a + c = 130 - 30
a + c = 100
b/n + b*n = 100
b(1/n + n) = 100
30(1/n + n) = 100
(1/n + n) = 100/30
(1/n + n) = 10/3
(n²+1)/n = 10/3
n = 3 (Es la razón de la progresión geométrica)

P.G. =  a,    b,    c
               *n   *n

P.G. =  a,    30,    c
               *3   *3
a*3 = 30
a = 30/3
a = 10

b=30

30*3 = c
c = 90

P.G. = 10, 30, 90  (RESPUESTA!!)

Answer 2

Sabiendo que tres números forman una progresión geométrica

sean los números 

xr , x.r², xr³  

donde r : es constante (razón )

nota : 

se dice que los números están en progresión geométrica si siguen un patrón osea tiene una razón ,  y de tal manera que al dividir cualquier número ( que están contenidos en el patrón  ) entre la razón te dará el anterior

ejemplo 

1,2,4,8,16

como notamos 

1.2 =2
2.2=4
4.2 =8
8.2=16

notamos que la razón en este patrón es 2 

ahora dividelo cualquiera de ellos entre la razón y nos dará el anterior

osea :

por ejemplo

16/2 = 8 ← el ocho es el número anterior

del problema .

sean  tres números .

x , x.r, xr²   → están en progresión geométrica

la suma de ellos es 130

osea

x.+xr+xr²=130  .......(1)

dato :

si se le añade 20 al centro : 

se refiere al número (obviamente) : xr² 

quedaría añadido 20 : xr²+20 


nuevamente del dato :

SIN ALTERAR LOS EXTREMOS  (osea ) : xr y xr³

ahora :

x , xr+20  ,xr² = (x)+(x+r)+(x+2r)   

antes de todo definamos que es una progresión aritmética :
una P.A (Progresión Aritmética )  es un patrón que siguen los números tales que cuenta con una razón pero esta razón se diferencia con la progresión geométrica (razón de la progresión geométrica es la multiplicación)  en cambio  en una P.A la razón sera la suma ( razón constante) 

ejemplo .

1,2,3,4,5
1+1 =2
2+1 =3
3+1 =4
4+1 =5 

como notamos la razón es 1

sigamos con el problema  :

x , xr+20  ,xr² = (x),(x+a),(x+a+a)   ......(2)


de la relación ..(1)

x.+xr+xr²=130

factorizando (x)

x(1+r+r²)=130
              
x(1+r+r²)=13.10
↑    ║_____║  ↑
 | __________|

donde deducimos :

x=10   ∧  r=3

ahora de la ecuación ..(2)

x , xr+20  ,xr² = (x),(x+a),(x+a+a)

remplazando  :

10, 50 , 90 = x,  x+a, x+2a

solo es cuestión de igual 
                            
                                    ecuación de verificación
                                                ↓
x=10   ∧     x+a=50    ∧      x+2a=90
                 10+a=50         10+2(40) =90 
                      a=40

entonces de la pregunta 

¿cual es la progresión geométrica?

esta dado por 

  x , xr  , xr²
10, 30 , 90


curiosidad ¿ cuanto vale la P.A?

 esta dado por 

x , x+a , x+2a

10 , 50 , 90

saludos ISABELA  (FELICES FIESTAS )  ;)