Question

"doy 100 PUNTOS"

Los ángulos internos de un cuadrilátero están en progresión geométrica, si el mayor de ellos mide 192°.¿cuanto suman las medidas de los dos menores?

Answer 1

 Hola.

 Llamemos "r" a la razón de la progresión geométrica, y "A", "B", "C", y "D" a los ángulos internos de cuadrilátero, ordenados del menor al mayor. Siendo que los ángulos internos de un cuadrilátero suman 360 grados:

A+B+C+D = 360

 Pero sabemos que el mayor de ellos mide 192, y que B, C, y D están en progresión geométrica. Entonces:
 
$A*r^{0}+A*r^{1}+A*r^{2}+A*r^{3} = 360$

 Además sabemos que el mayor de ellos debe medir 192 grados:

$A.r^{3}=192$

 Entonces, surgen dos ecuaciones.
Primera:
$A=\frac{192}{r^{3}}$

Segunda:
$A= \frac{360-192}{r^{2}+r+1}$

 Obviamente, el ángulo A es el mismo para ambas, así que podemos igualarlas entre sí:

$\frac{192}{r^{3}}= \frac{360-192}{r^{2}+r+1} \\ \\ 192(r^{2}+r+1)=168r^{3} \\ \\ 168r^{3}-192r^{2}-192r-192=0$

 Ecuación cúbica que tiene una sola raíz real (x=2). Su máxima factorización es:

$(r-2)*(168r^{2}+144r+96)=0$

 Para hallar una raíz se prueban manualmente los valores que sean divisores enteros de 168 sobre divisores enteros de 192, tanto positivos como negativos. Hallado alguno de estos valores que verifique la ecuación, en este caso r=2, se divide a la ecuación entre (r-2). Resultando una cuadrática como factor, que es más fácil de hallar sus raíces. En este caso tiene discriminante = 144^2-4.168.96, que es menor que cero, por lo que ya no tiene raíces reales la cuadrática.

Por lo tanto

r=2

 Entonces:

A = 192/8 = 24
B = 48
C = 96
D = 192

 Están en progresión geométrica. El mayor mide 192 grados. Y:

A+B+C+D = 24+48+96+192 = 360

Forman un cuadrilátero.

Respuesta: Sus dos ángulos menores suman 72 grados.

 Saludos!

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:A*r^{0}+A*r^{1}+A*r^{2}+A*r^{3} = 360

Además sabemos que el mayor de ellos debe medir 192 grados:

A.r^{3}=192

Entonces, surgen dos ecuaciones.

Primera:

A=\frac{192}{r^{3}}  

Segunda:

A= \frac{360-192}{r^{2}+r+1}