Question

En la figura adjunta, ABCD es un trapecio rectángulo en A y en D, con
DEA = ACB = CFB = 90°, E pertenece al segmento AC y F pertenece al
segmento AB. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I) AD ⋅ CF = DE ⋅ CB
II) DE ⋅ CF = EC ⋅ FB
III) AD ^ 2 + AF ^ 2 = AF ⋅ AB
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

En primer lugar representaremos en la imagen adjunta los ángulos que mencionan en el enunciado y diremos que ᾳ + β = 90° ya que son los ángulos complementarios de triángulos rectángulos.

Entonces, decimos que por el criterio ángulo-ángulo, los triángulos son semejantes cuando se cumple $\frac{AB}{AB'} = {BC}{BC'} = {CA}{CA'} = k$ 

De esta forma I. Es verdadera ya que ∆AED ~ ∆BFC y por lo tanto, $\frac{AD}{CB} = {DE}{CF}$  y  AD x CF = DE x CB

II. ∆DEC ~ ∆BFC y por lo tanto $\frac{DE}{FB} = {EC}{CF}$  y  DE x CF = EC x FB siendo la afirmación verdadera.

III. Haciendo uso del Teorema de Pitágoras y el Teorema de Euclides podemos decir que esta afirmación también es verdadera ya que:

Pitágoras ∆AFC:  AC² = FC² + AF² pero como FC = AD entonces,  AC² = AD² + AF² 
Euclides ∆ABC:   AC² = AF x AB y al reemplazar AC² por la expresión encontrada anteriormente, se concluye que AD² + AF² =
AF ∙ AB siendo la expresión verdadera.

En ese sentido, la respuesta correcta es la Opción E.

Saludos!

Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas

Answer 2

Respuesta:

yo solo me llevo el punto  

Explicación: