Question

En la figura adjunta PR y SU son diámetros de la circunferencia que se
intersectan en O, el punto Q pertenece a ella y los segmentos QS y PR se
intersectan en T. Si QTR = 114°y QOU = 84°, entonces la medida de alpha es
A) 36º
B) 42º
C) 66º
D) 72º
E) 57º
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

En este caso, plantearemos la información dada en el enunciado en la imagen adjunta. 

 Una vez realizado este paso, recordamos que: según la teoría el ángulo del centro es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma; el ángulo inscrito de una circunferencia es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta; y en la circunferencia de centro O, la medida del ángulo del centro AOB, siendo A y B los radios, es igual al doble de la medida del ángulo inscrito ACB que subtiende el mismo arco.

 

En ese sentido y de acuerdo a lo expuesto en el planteamiento, podemos decir que el ángulo del centro ∡QOU y el ángulo inscrito ∡QSU subtienden el mismo arco QU.

Y que por lo tanto: ∡QSU = $\frac{84}{2} = 42$

 

Ahora… en el triángulo QOS los lados OQ y OS son radios de la circunferencia, lo que implica que este triángulo es isósceles y  ∡QSO = ∡SQO = 42°

 

Además, tenemos que el ∡QTR es un ángulo exterior del triángulo OTQ y por lo tanto:

∡QTR = ∡TOQ + ∡TQO

114° = ∡TOQ + 42°

∡TOQ = 72°

 

Finalmente, de la figura se obtiene que el ángulo del centro ∡QOR y el ángulo inscrito ∡QPR subtienden el mismo arco RQ, lo que implica que el ᾳ = ∡QPR = 72/2 = 36°, es decir, la opción A.

 

Saludos!

 

Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas