Question

Sean k y r números enteros e i2 = -1. La expresión (i2k + i6k)r representa un
número real positivo, si se sabe que ocurren estas condiciones:
(1) k es un número par.
(2) r es un número par.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

Podemos obtener la respuesta a este ítem siguiendo los siguientes pasos:

Aplicando las propiedades de la potenciación decimos que:
$(i^{2k} + i^{6k})^{r} = [(i^{2})^{k} + (i^{6})^{k}]^{r}$
$(i^{2k} + i^{6k})^{r} = [(i^{2})^{k} + ((i^{2})^{3})^{k}]^{r}$

Sustituímos i² por -1 según lo planteado en el encabezado:
$[(-1)^{k} + ((-1)^{3})^{k}]^{r}$
$[(-1)^{k} + (-1)^{k}]^{r}$
$[2(-1)^{k}]^{r}$

Con esta expresión reducida comprobaremos si los planteamientos dados pueden ser posibles o no:

I. Supongamos que k = 2
$= [2(-1)^{k}]^{r}$
$= [2(-1)^{2}]^{r}$
$= (2 x 1)^{r} = 2^{r}$

Y este es un número real positivo para cualquier valor de r.

II. Supongamos que r = 2
De esta forma se tiene que $[2(-1)^{k}]^{r}$ es siempre positivo ya que el número $2(-1)^{k}$ elevado a un número par es siempre positivo sin importar el valor de k 

Entonces podemos decir que la respuesta correcta es la opción D.

Saludos!

PSU Prueba de Selección Universitaria Chile 2018: Matemáticas