Question

Determine el valor de “x” ((x-a)^2+(x-a)^2)/((x-a)(x-b))+4ab/(a^2-b^2 )=0

Answer 1

$\left(\left(\left(x-a\right)^2+\left(x-a\right)^2\right)/\left(\left(x-a\right)\left(x-b\right)\right)\right)\:+\left(\left(4ab\right)/\left(a^2-b^2\:\right)\right)=0$:


Resolvemos $\left(\left(\left(x-a\right)^2+\left(x-a\right)^2\right)/\left(\left(x-a\right)\left(x-b\right)\right)\right)$


Sumamos elementos similares

$(x-a\right)^2+\left(x-a\right)^2=2\left(x-a\right)^2$


$\frac{2\left(x-a\right)^2}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}$


Eliminamos elemento común $(x-a)$:


$=\frac{2\left(x-a\right)}{x-b}$


Sustituimos:


$2(x-a) = (2x - 2a)$


$=\frac{2x-2a}{x-b}+\frac{4ab}{a^2-b^2}$


Encontramos el mínimo común denominador para $\frac{2x-2a}{x-b}+\frac{4ab}{a^2-b^2}:\quad \left(x-b\right)\left(a^2-b^2\right)$


Reescribimos basados en el mínimo común denominador:


=$\frac{\left(2x-2a\right)\left(a^2-b^2\right)}{\left(x-b\right)\left(a^2-b^2\right)}+\frac{4ab\left(x-b\right)}{\left(x-b\right)\left(a^2-b^2\right)}$


=$\frac{\left(2x-2a\right)\left(a^2-b^2\right)+4ab\left(x-b\right)}{\left(x-b\right)\left(a^2-b^2\right)}$


Resolvemos $\left(x-b\right)\left(a^2-b^2\right):\quad a^2x-b^2x-a^2b+b^3$


=$\frac{\left(2x-2a\right)\left(a^2-b^2\right)+4ab\left(x-b\right)}{a^2x-b^2x-a^2b+b^3}$


Resolvemos $\left(2x-2a\right)\left(a^2-b^2\right)+4ab\left(x-b\right):\quad -2a^3+2a^2x-2ab^2+4abx-2b^2x$


$=\frac{-2a^3+2a^2x-2ab^2+4abx-2b^2x}{a^2x-b^2x-a^2b+b^3}$


Tenemos $\frac{-2a^3+2a^2x-2ab^2+4abx-2b^2x}{a^2x-b^2x-a^2b+b^3}=0$


Sabemos que $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0\quad \Rightarrow \quad f\left(x\right)=0$


Entonces:


$-2a^3+2a^2x-2ab^2+4abx-2b^2x=0$


Restamos $-2a^3-2ab^2$ de ambos lados:

$-2a^3+2a^2x-2ab^2+4abx-2b^2x-\left(-2a^3-2ab^2\right)$$= 0-\left(-2a^3-2ab^2\right)$


Simplificamos:


$2a^2x+4abx-2b^2x=2a^3+2ab^2$


Factorizamos $2a^2x+4abx-2b^2x:\quad 2x\left(a^2+2ab-b^2\right)$


$2x\left(a^2+2ab-b^2\right)=2a^3+2ab^2$


Dividimos ambos lados entre $2\left(a^2+2ab-b^2\right);\quad \:2\left(a^2+2ab-b^2\right)\ne \:0$


$\frac{2x\left(a^2+2ab-b^2\right)}{2\left(a^2+2ab-b^2\right)}=\frac{2a^3}{2\left(a^2+2ab-b^2\right)}+\frac{2ab^2}{2\left(a^2+2ab-b^2\right)};\quad \:2\left(a^2+2ab-b^2\right)\ne \:0$


Finalmente simplificamos:


$x=\frac{a\left(a^2+b^2\right)}{a^2-b^2+2ab};\quad \:2\left(a^2+2ab-b^2\right)\ne \:0$