Question

Hallar el área del círculo cuya ecuación es 9 x al cuadrado + 9y al cuadrado + 72 x- 12y + 103 = 0

Answer 1

Primero veamos el desarrollo de dos binomios que vamos a usar para trabajar esta ecuación

$(3x+12)^2=9x^2+72x+144$

$(3y-2)^2=9y^2-12y+4$

De modo que tomaremos la ecuación del problema y le sumaremos estratégicamente, a ambos lados, "45"

$9x^2+9y^2+72x-12y+103+45=0+45$

$9x^2+9y^2+72x-12y+148=45$

Ahora separamos el "148" en "144+4", esta suma es pura estrategia matemática y se la conoce como completar cuadrados

$9x^2+9y^2+72x-12y+144+4=45$

Luego ordenamos la ecuación y nos queda

$9x^2+72x+144+9y^2-12y+4=45$

Considerando los dos desarrollos que hicimos al principio podemos escribir

$(3x+12)^2+(3y-2)^2=45$

$[(3)(x+4)]^2+[(3)(y-\frac{2}{3})]^2=45$

$9(x+4)^2+9(y-\frac{2}{3})^2=45$

Dividiendo a ambos lados por "9" nos queda

$(x+4)^2+(y-\frac{2}{3})^2=5$

La ecuación de cualquier circunferencia es

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

En donde $x_0$ e $y_0$ son los corrimientos del centro y $r$ es el radio de la circunferencia

Si comparamos la ecuación a la que llegamos, con la de la circunferencia, notamos que son equivalentes, por lo tanto el radio de esta circunferencia será

$r^2=5\\r=\sqrt{5}$

Por último, el área de la circunferencia se calcula como

$A=\pi r^2$

$A=\pi \times 5$

$A=5\pi\cong 15,70$

Por lo tanto el área de la circunferencia del problema es exactamente $5\pi$ o aproximadamente $15,70$ y con eso ya estamos

Answer 2

Para encontrar el área de una circunferencia usamos la formula:
π*r^2 donde r es el radio de la circunferencia.

Entonces debemos encontrar el área de la circunferencia.

Debemos llevar la ecuación general que nos dan aquí a la ecuación canónica, la cual tiene la forma: (x - h)^2 + (y - f)^2 = r^2 donde r es el radio de la circunferencia.

Para llevarla a ecuación canónica, completamos cuadrados, de esta forma:

9x^2 + 9y^2 + 72x - 12y + 103 = 0 dividimos para nueve ambos miembros y es igual a:
x^2 + y^2 + 8x + (12/9)y + (103/9) = 0, entonces agrupamos y completamos cuadrados:
x^2 + y^2 + 8x + (12/9)y + (103/9) = 0 es
(x^2 + 8x + ... ) + (y^2 + (12/9)y + ... ) + (103/9) - ... - ... = 0 donde los espacios ... serán llenados con números tales que completen cuadrados.

Por formula de suma y diferencia de cuadrados:
(a ± b)^2 = (a^2 ± 2*a*b + b^2) así 
 (x^2 + 8x + ... ) + (y^2 + (12/9)y + ... ) + (103/9) - ... - ... = 0 es:
 (x^2 + 2*x*4 + ... ) + (y^2 + 2*y*(6/9) + ... ) + (103/9) - ... - ... = 0 entonces llenos los espacios así:
(x^2 + 2*x*4 + 4^2 ) + (y^2 + 2*y*(6/9) + (6/9)^2 ) + (103/9) - 4^2 - (6/9)^2 = 0 
Agrupando y operando algebráicamente formula queda:
(x + 4)^2 + (y - (6/9))^2 = 5 
comparando con la ecuación canónica el radio de esta circunferencia es √5
Entonces su área sería:

π*r^2 = π*(√5)^2 = π*5 = 5π

Area = 5π