Question

En una carrera de atletismo hay 132 maneras de tener ganador y segundo lugar. ¿Cuantos atletas participan en la carrera? (Permutación)

Answer 1

Si atendiéramos a un ejercicio normal de combinatoria, nos darían el nº de atletas "m" y cuántos atletas tomar en cada combinación (n).

En este ejercicio te lo han complicado un poquito. Te ocultan el nº de atletas pero te dicen la cantidad de maneras de combinarlos de 2 en 2, ya que pide campeón y subcampeón.

Hay que determinar si se trata de variaciones, permutaciones o combinaciones.

Las permutaciones están descartadas porque no coincide el nº de atletas (m) con la cantidad que tomamos en cada variación (n)

Las combinaciones también están descartadas porque en este caso importa el orden en que coloquemos los elementos a variar ya que no es lo mismo que Juan quede campeón y Pedro subcampeón, que al revés, ok?

Así pues, se trata de 128 VARIACIONES DE "m" elementos tomados de 2 en 2 (n) . Y nos piden hallar "m".

Acudo a la fórmula por factoriales y tengo:

$V_m^n= \frac{m!}{(m-n)!}\ \ ...sustituyendo... \\ \\ 132= \frac{m!}{(m-2)!} \\ \\ 132= \frac{m*(m-1)*(m-2)!}{(m-2)!} \\ \\ 132= m*(m-1)} \\ \\ 132=m^2-m \\ \\ m^2-m-132=0\ \ por formula\ de\ ecuaciones\ cuadraticas... \\ \\ m_{1}, \ m_{2} = \frac{-b\pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a} \ \ \ ...llego\ a\ esto... \\ \\ \left \{ {{m_1\ =\ \frac{1+23}{2}\ =\ 12 } \atop {m_2\ =\ se\ desestima\ por\ salir\ negativo}} \right.$

Respuesta: participan 12 atletas.

Saludos.