Question

10:una cuerda de la circunferencia x2+y2=25 esta sobre la recta cuya ecuación es x-7y+25=0 hallese la longitud de la cuerda 11:Hayar la ecuación de la mediatris de la cuerda del ejercicio 10. Y demostrar que pasa por el centro de la cuerda de la circunferencia

Answer 1

De la recta despejamos $y$

$y=\frac{x}{7}+\frac{25}{7}$

Vamos a usar este reemplazo en la circunferencia para hallar los puntos de intersección:

$x^2+(\frac{x}{7}+\frac{25}{7})^2=25$

$x^2+\frac{x^2}{49}+\frac{50x}{49}+\frac{225}{49}=25$

Multiplicamos por $49$ a ambos lados:

$49x^2+x^2+50x+225=25\times 49$

$50x^2+50x+225=1225$

$50x^2+50x+225-1225=0$

$50x^2+50x-1000=0$

Como esta es una ecuación de segundo grado, utilizamos la Fórmula de Baskara (adjuntada en imagen), para hallar las dos soluciones, las cuales son:

$x_1=4\\x_2=-5$

Por lo tanto la recta corta a la circunferencia en $x=4$ y $x=5$
Pasamos a calcular la imagen de cada uno de esos puntos:

$f(4)=\frac{4}{7}+\frac{25}{7}=\frac{29}{7}$

$f(-5)=-\frac{5}{7}+\frac{25}{7}=\frac{20}{7}$

Notemos que se puede usar cualquiera de las dos funciones para calcular la imagen de los puntos hallados.

Ahora la longitud de la recta va a ser igual a la distancia entre dichos puntos, esto se calcula:

$d=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}$

$d=\sqrt{(\frac{20}{7}-\frac{29}{7})^2+(-5+4)^2}$

$d=\sqrt{(-\frac{9}{7})^2+(-1)^2}$

$d=\sqrt{\frac{81}{49}+1}$

$d=\sqrt{\frac{130}{49}}$

$d=\frac{1}{7}\sqrt{130}\cong 1,629...$

La mediatriz de la recta va a pasar por los puntos de valor promedio a los de $x$ e $y$ de la intersección, por lo tanto va a pasar por:

$x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-5+4}{2}=-\frac{1}{2}$

$y_M=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{29/7+20/7}{2}=\frac{7}{2}$

Luego la pendiente será inversa y opuesta a la de la recta:

$m=-7$

Por lo tanto la información que tenemos de la mediatriz es:

$y=-7x+b$

Reemplazamos con el punto hallado:

$\frac{7}{2}=-7(-\frac{1}{2})+b$

$\frac{7}{2}=\frac{7}{2}+b$

$b=0$

La ecuación de la mediatriz será:

$y=-7x$

Vemos que por la ecuación de la circunferencia, su centro se encuentra en el origen de coordenadas $(0,0)$, por lo tanto para demostrar que la mediatriz pasa por ahí, este punto debería cumplir con la función de dicha recta:

$y=-7x$

Reemplazamos:

$(0)=-7(0)$

$0=0$

Como llegamos a una identidad, significa que la recta pasa por el centro de la circunferencia, y estamos...