10:una cuerda de la circunferencia x2+y2=25 esta sobre la recta cuya ecuación es x-7y+25=0 hallese la longitud de la cuerda 11:Hayar la ecuación de la mediatris de la cuerda del ejercicio 10. Y demostrar que pasa por el centro de la cuerda de la circunferencia
Respuestas
Respuesta dada por:
21
De la recta despejamos ![y y](https://tex.z-dn.net/?f=y)
![y=\frac{x}{7}+\frac{25}{7} y=\frac{x}{7}+\frac{25}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B7%7D%2B%5Cfrac%7B25%7D%7B7%7D)
Vamos a usar este reemplazo en la circunferencia para hallar los puntos de intersección:
![x^2+(\frac{x}{7}+\frac{25}{7})^2=25 x^2+(\frac{x}{7}+\frac{25}{7})^2=25](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B7%7D%2B%5Cfrac%7B25%7D%7B7%7D%29%5E2%3D25)
![x^2+\frac{x^2}{49}+\frac{50x}{49}+\frac{225}{49}=25 x^2+\frac{x^2}{49}+\frac{50x}{49}+\frac{225}{49}=25](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B49%7D%2B%5Cfrac%7B50x%7D%7B49%7D%2B%5Cfrac%7B225%7D%7B49%7D%3D25)
Multiplicamos por
a ambos lados:
![49x^2+x^2+50x+225=25\times 49 49x^2+x^2+50x+225=25\times 49](https://tex.z-dn.net/?f=49x%5E2%2Bx%5E2%2B50x%2B225%3D25%5Ctimes+49)
![50x^2+50x+225=1225 50x^2+50x+225=1225](https://tex.z-dn.net/?f=50x%5E2%2B50x%2B225%3D1225)
![50x^2+50x+225-1225=0 50x^2+50x+225-1225=0](https://tex.z-dn.net/?f=50x%5E2%2B50x%2B225-1225%3D0)
![50x^2+50x-1000=0 50x^2+50x-1000=0](https://tex.z-dn.net/?f=50x%5E2%2B50x-1000%3D0)
Como esta es una ecuación de segundo grado, utilizamos la Fórmula de Baskara (adjuntada en imagen), para hallar las dos soluciones, las cuales son:
![x_1=4\\x_2=-5 x_1=4\\x_2=-5](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D4%5C%5Cx_2%3D-5)
Por lo tanto la recta corta a la circunferencia en
y ![x=5 x=5](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D5)
Pasamos a calcular la imagen de cada uno de esos puntos:
![f(4)=\frac{4}{7}+\frac{25}{7}=\frac{29}{7} f(4)=\frac{4}{7}+\frac{25}{7}=\frac{29}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=f%284%29%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B7%7D%2B%5Cfrac%7B25%7D%7B7%7D%3D%5Cfrac%7B29%7D%7B7%7D)
![f(-5)=-\frac{5}{7}+\frac{25}{7}=\frac{20}{7} f(-5)=-\frac{5}{7}+\frac{25}{7}=\frac{20}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28-5%29%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B7%7D%2B%5Cfrac%7B25%7D%7B7%7D%3D%5Cfrac%7B20%7D%7B7%7D)
Notemos que se puede usar cualquiera de las dos funciones para calcular la imagen de los puntos hallados.
Ahora la longitud de la recta va a ser igual a la distancia entre dichos puntos, esto se calcula:
![d=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2} d=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%5Csqrt%7B%28y_2-y_1%29%5E2%2B%28x_2-x_1%29%5E2%7D)
![d=\sqrt{(\frac{20}{7}-\frac{29}{7})^2+(-5+4)^2} d=\sqrt{(\frac{20}{7}-\frac{29}{7})^2+(-5+4)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7B20%7D%7B7%7D-%5Cfrac%7B29%7D%7B7%7D%29%5E2%2B%28-5%2B4%29%5E2%7D)
![d=\sqrt{(-\frac{9}{7})^2+(-1)^2} d=\sqrt{(-\frac{9}{7})^2+(-1)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%5Csqrt%7B%28-%5Cfrac%7B9%7D%7B7%7D%29%5E2%2B%28-1%29%5E2%7D)
![d=\sqrt{\frac{81}{49}+1} d=\sqrt{\frac{81}{49}+1}](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B81%7D%7B49%7D%2B1%7D)
![d=\sqrt{\frac{130}{49}} d=\sqrt{\frac{130}{49}}](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B130%7D%7B49%7D%7D)
![d=\frac{1}{7}\sqrt{130}\cong 1,629... d=\frac{1}{7}\sqrt{130}\cong 1,629...](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%5Csqrt%7B130%7D%5Ccong+1%2C629...)
La mediatriz de la recta va a pasar por los puntos de valor promedio a los de
e
de la intersección, por lo tanto va a pasar por:
![x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-5+4}{2}=-\frac{1}{2} x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-5+4}{2}=-\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=x_M%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-5%2B4%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
![y_M=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{29/7+20/7}{2}=\frac{7}{2} y_M=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{29/7+20/7}{2}=\frac{7}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=y_M%3D%5Cfrac%7By_1%2By_2%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B29%2F7%2B20%2F7%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D)
Luego la pendiente será inversa y opuesta a la de la recta:
![m=-7 m=-7](https://tex.z-dn.net/?f=m%3D-7)
Por lo tanto la información que tenemos de la mediatriz es:
![y=-7x+b y=-7x+b](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D-7x%2Bb)
Reemplazamos con el punto hallado:
![\frac{7}{2}=-7(-\frac{1}{2})+b \frac{7}{2}=-7(-\frac{1}{2})+b](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%3D-7%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%2Bb)
![\frac{7}{2}=\frac{7}{2}+b \frac{7}{2}=\frac{7}{2}+b](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%2Bb)
![b=0 b=0](https://tex.z-dn.net/?f=b%3D0)
La ecuación de la mediatriz será:
![y=-7x y=-7x](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D-7x)
Vemos que por la ecuación de la circunferencia, su centro se encuentra en el origen de coordenadas
, por lo tanto para demostrar que la mediatriz pasa por ahí, este punto debería cumplir con la función de dicha recta:
![y=-7x y=-7x](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D-7x)
Reemplazamos:
![(0)=-7(0) (0)=-7(0)](https://tex.z-dn.net/?f=%280%29%3D-7%280%29)
![0=0 0=0](https://tex.z-dn.net/?f=0%3D0)
Como llegamos a una identidad, significa que la recta pasa por el centro de la circunferencia, y estamos...
Vamos a usar este reemplazo en la circunferencia para hallar los puntos de intersección:
Multiplicamos por
Como esta es una ecuación de segundo grado, utilizamos la Fórmula de Baskara (adjuntada en imagen), para hallar las dos soluciones, las cuales son:
Por lo tanto la recta corta a la circunferencia en
Pasamos a calcular la imagen de cada uno de esos puntos:
Notemos que se puede usar cualquiera de las dos funciones para calcular la imagen de los puntos hallados.
Ahora la longitud de la recta va a ser igual a la distancia entre dichos puntos, esto se calcula:
La mediatriz de la recta va a pasar por los puntos de valor promedio a los de
Luego la pendiente será inversa y opuesta a la de la recta:
Por lo tanto la información que tenemos de la mediatriz es:
Reemplazamos con el punto hallado:
La ecuación de la mediatriz será:
Vemos que por la ecuación de la circunferencia, su centro se encuentra en el origen de coordenadas
Reemplazamos:
Como llegamos a una identidad, significa que la recta pasa por el centro de la circunferencia, y estamos...
Adjuntos:
![](https://es-static.z-dn.net/files/d16/f871d277119db6f8045e6735086644ff.png)
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