Question

Un científico encontró un fósil de mamut con 1/1000 de la cantidad de carbono 14 que el organismo contenía mientras vivió. La ecuación que permite datar los restos orgánicos es A(t)=Ao(e^kt)... y se sabe que la vida media del carbono 14 es de 5,600 años.

Se requiere determinar k para calcular la edad aproximada en años del fósil. Identifica los pasos correctos y determina la edad aproximada del fósil en años.

Answer 1

si la ecuación es:

$A(t)=A_{0}e^{kt}$

entonces A(t) me dira la cantidad de carbono 14 presente en cualquier momento

yo se que cuando el animal vivia es decir t=0 yo tenia una cantdad $A_{0}$ de carbono 14 y transcurridos 5600 años yo tenia $\frac{A_{0}}{2}$ entonces escribiré ambas ecuaciones con estos datos

$A_{0}=A_{0}e^{k(0)} \\ \frac{A_{0}}{2}=A_{0}e^{k(5600)}$

si divido la segunda ecuación entre la primera obtendré

$\frac{A_{0}/2}{A_{0}}= \frac{A_{0}e^{k(5600)}}{A_{0}} \\ \\ \frac{1}{2}=e^{k(5600)}$

recuerda que todo numero elevado a la potencia 0 (cero) siempre es igual a 1

Ahora solamente despejaremos k de esta ecuación aplicando el logaritmo natural en ambos lados

$ln(\frac{1}{2})=ln(e^{k(5600)}) \\ \\ ln(\frac{1}{2} = k(5600) \\ \frac{1}{5600}ln(\frac{1}{2})=k$

en calculadora esto es
$k=-1.237762x10^{-4}$

teniendo el valor de k si sabemos que hemos encontrado 1/1000 veces la cantidad que habia en el principio entonces podemos decir que:

$\frac{1}{1000}A_{0}=A_{0}e^{-1.237762x10^{-4}t}$

y despejando t y eliminando $A_{0}$ de ambos lados de la ecuacion 

$ln(\frac{1}{1000})=ln(e^{-1.237762x10^{-4}t}) \\ \\ ln(\frac{1}{1000})=(-1.237762x10^{-4})t \\ \\ \frac{1}{-1.237762x10^{-4}}ln(\frac{1}{1000})=t$

Hecho en calculadora 
$t=55808.42$

siendo este resultado en años

Saludos