Question

Un centro de nivelación realiza una oferta a un colegio para preparar a sus estudiantes previo a las pruebas de ingreso a la universidad. Por cada uno de los 30
estudiantes del curso se cobrará USD 150, pero si no se inscriben todos, por cada vacante existente, los estudiantes que sí asistan deberán pagar USD 15 adicionales.
La tabla muestra los cálculos aplicados para varios casos.
Asistentes Vacantes Precio a pagar por asistente Ganancia del centro de nivelación
29 1 150 + 15(1) = 165 29*165 = 4 785,00
28 2 150 + 15(2) = 180 28*180 = 5 040,00
27 3 150 + 15(3) = 195 27*195 = 5 265,00
26 4 150 + 15(4) = 210 26*210 = 5 460,00
Determine el número de vacantes que maximizará la ganancia del centro de nivelación.
a) 0
b) 10
c) 20
d) 5

Answer 1

Llama N al número de estudiantes que asisten y p al precio que paga cada uno.


El precio que paga cada uno será: p = 150 + (30 - N)*15


El ingreso será el precio multiplicado por el número de asistentes:


Ganancia = p * N = [150 + (30 - N)15 ] * N = 150 N + 30*15N - 15N^2


Ganancia = 600N - 15N^2


Verifica que esa fórmula coincide con la tabla de muestra:


N         Ganancia: 600N - 15N^2


29        600*29 - 15*(29^2) = 4785

28        600*28 - 15(28^2) = 5040

27        600*27 - 15(27^2) = 5265

26        600*26 - 15(26^2) = 5460  


Con eso estamos confiados en que hemos interpretado bien el enunciado y en que nuestro modelo (fórmula) funciona.


Por tanto, lo que debemos hacer es optimizar la función  600N - 15N^2


Esa función representa una parábola que abre hacia abajo (puesto que el coeficiente de N^2 es negativo), lo cual significa que el vértice de la parábola representa el valor máximo que puede tomar la ganancia.


Hallemos entonces el vértice de 600N - 15N^2


Yo voy hacerlo hallando las raíces, puesto que el vértice está en el punto medio de las dos raíces:

=> 600N - 15N^2 = 0

= .N(600 - 15N) = 0

=> N = 0 y N = 600/15 =  40.


Por tanto, el vértice se encuentra en N = 20


Y el número de vacantes será 30 - 20 = 10.



Respuesta: el número de vacantes que optimizará la ganancia es 10 (opción b).