Question

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea g la funci ́on definida por g(x) = ln (x) para x > 0 (ln denota la funci ́on
logaritmo neperiano). Calcula el valor de a > 1 para el que el ́area del recinto limitado por la gr ́afica de g, el
eje de abscisas y la recta x = a es 1.

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II.

para tener una mejor idea del area a calcular, hacemos un esbozo de la grafica como se muestra en la imagen adjunta (no es obligatorio) 

calculamos $A= \int\limits^a_1 {lnx} \, dx$ 

esta integral se resulve por partes de la siguiente forma:

cambio de variable:

$\left[\begin{array}{ccc}u=lnx; du= \frac{1}{x} dx\\dv=dx; v = x\end{array}\right]$

$\int\limits {lnx} \, dx = xlnx - \int\limits \, dx = xlnx - x + C$

finalmente el area que buscamos es:

$A= \int\limits^a_1 {lnx} \, dx = [xlnx-x]^a_1 =$ $(alna-a)-(1ln1-1)$

despejamos a

⇒ $alna - a +1 = 1$

⇒ $alna - a =0$ ⇒$lna = 1$ ⇒ $e^1 =a$

por lo tanto $a=e$