Question

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Determina a y b sabiendo que b > 0 y que la funci ́on f : R → R definida como

f(x) =a cos(x) + 2x si x < 0 a 2

ln (x + 1) + b
x + 1
si x ≥ 0
es derivable. (ln denota la funci ́on logaritmo neperiano).

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

Para comprobar que la función sea derivable el x=0 debemos estudiar su continuidad en dicho valor, a través del cálculo de sus límites de la siguiente forma:

$\lim_{x \to 0^-} acosx+2x=a$

$\lim_{x \to 0^+} a^2ln(x+1)+\frac{b}{x+1} =b$

 

Por lo tanto $a=b$

 

De esta forma, podemos calcular la derivada de f(x)

 

f’(x)=

$-asenx+2$    si  $x\ \textless \ 0$

$a^2 \frac{1}{1+x} - \frac{b}{(x+1)^2}$   si $x \geq 0$

 

por ser derivable en x=0 , entonces se cumple que

 

$f'(0^-)=2$

$f'(0^+)=a^2-b$

⇒$a^2-b=2$

 

si formamos un sistema de ecuaciones podemos calcular los valores solicitados, asi:

$a=b; a^2-b=2$

⇒ $b^2-b=2$

⇒$b=-1; b=2$

 

como b>0, entonces $a=b=2$