Question

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

λx + λy + λz = 0
λx + 2y + 2z = 0
λx + 2y + z = 0

a) [1’75 puntos] Discute el sistema seg ́un los valores de λ.

b) [0’75 puntos] Determina, si existen, los valores de λ para los que el sistema tiene alguna soluci ́on en la
que z 6= 0.

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

a) para discutir el sistema, primero se debe calcular el determinante de la matriz que formamos a tomar los coeficientes de cada variable. para luego igualarla a 0. tenemos:

 

$|A| = \left[\begin{array}{ccc}\lambda&\lambda&\lambda\\\lambda&2&2\\\lambda&2&1\end{array}\right] = 2\lambda+2\lambda^2+2\lambda^2-2\lambda^2-\lambda^2-4\lambda$  

= $\lambda^2-2\lambda=0$ ⇒ $\lambda=0; \lambda=2$

 

luego debemos calcular el rango de la matriz anterior y procedemos a discutir el sistema:

 

cuando λ=0  entonces el R(A) = 2 y el sistema es compatible indeterminado.

cuando λ=2  entonces el R(A) = 2 y el sistema es compatible indeterminado.

cuando λ≠0 y 2  entonces el R(A) = 2 y el sistema es compatible determinado.

b)  Evaluamos, 

 

para λ=0, nos queda un sistema de la siguiente forma:

 

$\left \{ {{2y+2z=0} \atop {2y+z=0}} \right.$ 

⇒  $x=t; y=0; z=0$

 

para λ=2, nos queda un sistema de la siguiente forma:

 

$\left \{ {{2y+2z=-2x} \atop {2y+z=-2x}} \right.$

⇒ $x=t; y=-t; z=0$.

 

Podemos ver que no hay valores que tome λ donde z≠0