Question

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Halla la matriz X que verifica la igualdad AXA−1 + B = CA−1

sabiendo que

A =
0 −1 0
−1 −3 0
1 4 1
C =
1 −1 2
0 0 −1
1 0 −1
BA =
1 1 0
1 1 −1
−1 −5 −3

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II.

El primer paso es despejar X de la formula dada. Obteniendo:

$AXA^{-1}+B=CA^{-1}$ ⇒ $AXA^{-1}A+BA=CA^{-1}A$

⇒ $AXI+BA=CI$ ⇒ $AX+BA=C$ ⇒$AX=C-BA$ 

⇒ $A^{-1}AX= A^{-1}(C-BA)$ ⇒ $A^{-1} (C-BA)$.

si se calcula la inversa de A, tenemos:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&0\\-1&0&0\\1&1&1\end{array}\right]$

de esta forma, podemos calcular X.

$X=A^{-1}.(C-BA) = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&0\\-1&0&0\\1&1&1\end{array}\right].( \left[\begin{array}{ccc}1&-1&2\\0&0&-1\\1&0&-1\end{array}\right] -$ $\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&1&-1\\-1&-5&-3\end{array}\right] ) =$ $\left[\begin{array}{ccc}3&-1&0\\-1&0&0\\1&1&1\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}0&-2&2\\-1&-1&0\\2&5&2\end{array}\right] =$ $\left[\begin{array}{ccc}1&-5&6\\0&2&-2\\1&2&4\end{array}\right]$

por lo tanto,

$X = \left[\begin{array}{ccc}1&-5&6\\0&2&-2\\1&2&4\end{array}\right]$