Question

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula

Z dx/ (x − 2)√ x + 2

(Sugerencia:√x + 2 = t).

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II.

Como $t= \sqrt{x+2}$ , podemos despejar el valor de $x$ y de $dx$.

$dt = \frac{1}{2. \sqrt{x+2}} dx$

⇒ $dx= 2. \sqrt{x+2}dt=2tdt$

$t= \sqrt{x+2}$ ⇒ $t^2=x+2$ ⇒ $x=t^2-2$

Ahora, sustituimos en la integral las variables encontradas,

$\int\limits { \frac{1}{(x-2) \sqrt{x+2}} } \, dx = \int\limits { \frac{2tdt}{(t^2-2-2).t} } \, = \int\limits { \frac{2tdt}{(t^2-4).t} } \, = \int\limits { \frac{2dt}{(t^2-4)} } \,$

Resolvemos la integral por el método de fracciones simples:

$\frac{2}{t^2-4} = \frac{A}{t+2} + \frac{B}{t-2} = \frac{A(t-2)+B(t+2)}{t^2-4}$

Al ser los numeradores iguales, los denominadores también deben ser iguales así que sustituimos los valores de las raíces en los numeradores para poder calcular A y B.

 

t=2  ⇒  2=4B  ⇒ B=1/2

t=-2  ⇒  2=-4A  ⇒ A=-1/2

de esta forma tenemos que

$\int\limits { \frac{2dt}{t^2-4}} \, = \int\limits { \frac{Adt}{t+2}} \, + \int\limits { \frac{Bdt}{t-2}} \, = -1/2.ln|t+2|+1/2.ln|t-2|+C$

si devolvemos el cambio de variable obtenemos:

 $\int\limits { \frac{2dt}{t^2-4} } \, = -1/2ln|t+2|+1/2ln|t-2|+C =$ = $-1/2ln|\sqrt{x+2}+2|+1/2ln|\sqrt{x+2}-2|+C$