Question

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Determina la funci ́on f : (0,∞) → R sabiendo que f′′(x) = ln (x) y que su
gr ́afica tiene tangente horizontal en el punto P(1, 2) (ln denota la funci ́on logaritmo neperiano).


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014-2015, Matematicas II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014-2015, MATEMATICAS II.

El primer paso es calcular $f'(x)$ integrando por partes,

$f'(x)= \int\limits {ln(x)} \, dx = xlnx - \int\limits\, dx = xlnx - x +C$

$\left[\begin{array}{ccc}u=ln(x); du= \frac{1}{x}dx\\dv = dx; v=x \end{array}\right]$

debemos integrar por partes una segunda vez, ahora para calcular $f(x).$

$f(x) = \int\limits {(xlnx - x +C)} \, dx = \int\limits {xlnx} \, dx - \int\limits {x} \, dx +\int\limits {C} \, dx$

= $\int\limits {xlnx} \, dx - \frac{x^2}{2} +Cx = \frac{x^2}{2}lnx- \int\limits { \frac{x^2}{2} . \frac{1}{x} } \, dx + \frac{x^2}{2}+Cx$

= $\frac{x^2}{2}lnx- \frac{x^2}{4} - \frac{x^2}{2}+Cx+D= \frac{x^2}{2}lnx- \frac{3x^2}{4}+Cx+D$

$\left[\begin{array}{ccc}u=ln(x); du=\frac{1}{x}dx \\dv=xdx; v= \frac{x^2}{2} \end{array}\right]$

Ahora calcularemos los valores para C y D.

si La tangente es horizontal ⇒ $f'(1) = 0$ ⇒ $0= 1.ln1-1+C$ ⇒ $C=1$

si la tangente pasa por el punto (1,2) ⇒ $f(1) = 2$ ⇒ $2= \frac{1.ln1}{2} - 3/4 +1 +D$ ⇒ $D=7/4$

de esta forma, la funcion que buscamos es la siguiente:

$f(x) = \frac{x^2}{2}lnx - \frac{3x^2}{4}+x+7/4$