Question

Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuaci ́on mx + 5y + 2z = 0 y la recta r dada por

x + 1/3 = y/n = z − 1/ 2

a) [1 punto] Calcula m y n en el caso en el que la recta r es perpendicular al plano π.

b) [1’5 puntos] Calcula m y n en el caso en el que la recta r est ́a contenida en el plano π.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 3 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 3 2014-2015, MATEMATICAS II

 

a)    Como suponemos que la recta es perpendicular al plano, el vector dirección y el vector normal de dicha recta deben ser paralelos, esto quiere decir que sus componentes son proporcionales, de esta forma tenemos que:

$\frac{m}{3} = \frac{5}{n} = \frac{2}{2}$

Por lo tanto,  $m=3 ; n=5$

 b)    Si suponemos que la recta r está contenida en el plano π, quiere decir que el vector dirección y el vector normal son perpendiculares (producto escalar igual a 0) y el punto de la recta debe pertenecer al plano.

 

Si sustituimos el punto en la ecuación del plano obtenemos lo siguiente:

 

$m.(-1) +5.0+2.1=0$ ⇒ $m=2$

 

ahora, igualemos el producto escalar de los vectores (m,5,2) y (3,n,2) a 0.

 

$m.3+5.n+2.2=0$ ⇒ $3m+5n+4=0$ ⇒ $6+5n+4=0$ ⇒ $n=-2$

 

en conclusión:  $m=2; n=-2$