Question

Ejercicio 3.- Sea la matriz A =

2 1 0
0 1 −1
0 2 4

a) [1’75 puntos] Estudia, seg ́un los valores de λ, el rango de la matriz A − λI, siendo I la matriz identidad
de orden tres.



Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015-2016, MATEMATICAS II

Answer 1

a) Estudia, según los valores de λ, el rango de la matriz A – λI, siendo I la matriz identidad de orden tres.

 

La matriz λI es:

 

(λ  0  0)

(0  λ  0)

(0  0  λ)

 

La matriz final es:

 

(2  1  0)    (λ  0  0)     (2-λ    1       0 )

(0  1 -1) – (0  λ  0) = (  0    1-λ    -1 )

(0  2  4)    (0  0  λ)     (  0     2     4-λ)

 

Para encontrar el rango la condición es Det(A – λI) = 0

 

|2-λ    1       0 |

|  0    1-λ    -1 | = -λ^3 + 7λ^2 - 16λ + 12 = 0

|  0     2     4-λ|

 

λ1 = 2

 

λ2 = 3

 

Para λ = 2:

 

(0  1  0)

(0 -1 -1) -> F2 y F3 son proporcionales, por lo tanto Rango = 2

(0  2  2)

 

Para λ = 3:

 

(-1  1  0)

( 0 -2 -1) -> F2 y F3 son proporcionales, por lo tanto Rango = 2

( 0  2  1)

 

Se concluye que para λ = 2 o λ = 3 el rango es de 2 y para λ ≠ 2 o λ ≠ 3 el rango es de 3.

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4 2015-2016 MATEMÁTICAS II.